微积分学示例

$f (x) = \sin (2 x) + 3$ , $[- π, π]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $\sin (2 x) + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.1.2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.1.2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.1.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.1.2.5

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

解题步骤 1.1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 \cos (2 x) + 0$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $2 \cos (2 x)$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 \cos (2 x)$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 \cos (2 x)$ 。

$2 \cos (2 x)$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 \cos (2 x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $2 \cos (2 x) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $2 \cos (2 x) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

用 $\cos (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$2 x = \arccos (0)$

解题步骤 1.2.4

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$2 x = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.5

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 1.2.5.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.5.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 1.2.5.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 1.2.5.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.5.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.5.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.6

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.7

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

化简。

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解题步骤 1.2.7.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.7.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.7.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 1.2.7.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 1.2.7.1.5

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.2.7.2

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.7.2.1

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.7.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.7.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 1.2.7.2.3.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.3.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 1.2.7.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 1.2.8

求 $\cos (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.8.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 1.2.8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 1.2.8.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.8.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 1.2.8.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.2.9

$\cos (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.10

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sin (2 x) + 3$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = \frac{π}{4}$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $\frac{π}{4}$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (\frac{π}{4})) + 3$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (2 \frac{π}{2 (2)}) + 3$

解题步骤 1.4.1.2.1.1.2

约去公因数。

$\sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2}) + 3$

解题步骤 1.4.1.2.1.1.3

重写表达式。

$\sin (\frac{π}{2}) + 3$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$1 + 3$

解题步骤 1.4.1.2.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$4$

解题步骤 1.4.2

在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $\frac{3 π}{4}$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (\frac{3 π}{4})) + 3$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (2 \frac{3 π}{2 (2)}) + 3$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.2

约去公因数。

$\sin (2 \frac{3 π}{2 \cdot 2}) + 3$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.3

重写表达式。

$\sin (\frac{3 π}{2}) + 3$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \sin (\frac{π}{2}) + 3$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1 + 3$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 3$

解题步骤 1.4.2.2.2

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$2$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(\frac{π}{4} + π n, 4), (\frac{3 π}{4} + π n, 2)$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(- \frac{3 π}{4}, 4), (\frac{π}{4}, 4), (- \frac{π}{4}, 2), (\frac{3 π}{4}, 2)$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = - π$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $- π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (- π)) + 3$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\sin (- 2 π) + 3$

解题步骤 3.1.2.1.2

加上 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\sin (0) + 3$

解题步骤 3.1.2.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 + 3$

解题步骤 3.1.2.2

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$3$

解题步骤 3.2

在 $x = π$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $π$ 替换 $x$ 。

$\sin (2 (π)) + 3$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\sin (0) + 3$

解题步骤 3.2.2.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$0 + 3$

解题步骤 3.2.2.2

将 $0$ 和 $3$ 相加。

$3$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(- π, 3), (π, 3)$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(- \frac{3 π}{4}, 4), (\frac{π}{4}, 4)$

最小绝对值： $(- \frac{π}{4}, 2), (\frac{3 π}{4}, 2)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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