微积分学示例

$f (x) = 5 x + 2 - \sin (x)$ , $0 < x < 3 π$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $5 x + 2 - \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$5 + \frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$5 + 0 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$5 + 0 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.1.1.4.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$5 + 0 - \cos (x)$

解题步骤 1.1.1.5

将 $5$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 5 - \cos (x)$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $5 - \cos (x)$ 。

$5 - \cos (x)$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $5 - \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$5 - \cos (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$- \cos (x) = - 5$

解题步骤 1.2.3

将 $- \cos (x) = - 5$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $- \cos (x) = - 5$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 5}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

用 $- 5$ 除以 $- 1$ 。

$\cos (x) = 5$

解题步骤 1.2.4

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $5$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 2

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

没有绝对最大值

没有绝对最小值

解题步骤 4

微积分学 示例

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