微积分学示例

$f (x) = - x^{4} + 50 x^{2} - 625$ , $[- 6, 6]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $- x^{4} + 50 x^{2} - 625$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [50 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 625]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [50 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 625]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [50 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 625]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [50 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 625]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [50 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 625]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [50 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $50$ 对于 $x$ 是常数，所以 $50 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $50 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 4 x^{3} + 50 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 625]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 4 x^{3} + 50 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 625]$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $50$ 。

$- 4 x^{3} + 100 x + \frac{d}{d x} [- 625]$

解题步骤 1.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $- 625$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 625$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 x^{3} + 100 x + 0$

解题步骤 1.1.1.4.2

将 $- 4 x^{3} + 100 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 4 x^{3} + 100 x$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4 x^{3} + 100 x$ 。

$- 4 x^{3} + 100 x$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 x^{3} + 100 x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 x^{3} + 100 x = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $- 4 x^{3} + 100 x$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $- 4 x^{3}$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

$- 4 x \cdot x^{2} + 100 x = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $100 x$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 25 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

从 $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 25)$ 中分解出因数 $- 4 x$ 。

$- 4 x (x^{2} - 25) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$- 4 x (x^{2} - 5^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

因数。

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解题步骤 1.2.2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$- 4 x ((x + 5) (x - 5)) = 0$

解题步骤 1.2.2.3.2

去掉多余的括号。

$- 4 x (x + 5) (x - 5) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 1.2.6

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 1.2.7

最终解为使 $- 4 x (x + 5) (x - 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 5, 5$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $- x^{4} + 50 x^{2} - 625$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$- {(0)}^{4} + 50 {(0)}^{2} - 625$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- 0 + 50 {(0)}^{2} - 625$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 50 {(0)}^{2} - 625$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 50 \cdot 0 - 625$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

将 $50$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 - 625$

解题步骤 1.4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - 625$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

从 $0$ 中减去 $625$ 。

$- 625$

解题步骤 1.4.2

在 $x = - 5$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $- 5$ 替换 $x$ 。

$- {(- 5)}^{4} + 50 {(- 5)}^{2} - 625$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $- 5$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 1 \cdot 625 + 50 {(- 5)}^{2} - 625$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $625$ 。

$- 625 + 50 {(- 5)}^{2} - 625$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 625 + 50 \cdot 25 - 625$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

将 $50$ 乘以 $25$ 。

$- 625 + 1250 - 625$

解题步骤 1.4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

将 $- 625$ 和 $1250$ 相加。

$625 - 625$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

从 $625$ 中减去 $625$ 。

$0$

解题步骤 1.4.3

在 $x = 5$ 处计算

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解题步骤 1.4.3.1

代入 $5$ 替换 $x$ 。

$- {(5)}^{4} + 50 {(5)}^{2} - 625$

解题步骤 1.4.3.2

化简。

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解题步骤 1.4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.2.1.1

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 1 \cdot 625 + 50 {(5)}^{2} - 625$

解题步骤 1.4.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $625$ 。

$- 625 + 50 {(5)}^{2} - 625$

解题步骤 1.4.3.2.1.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 625 + 50 \cdot 25 - 625$

解题步骤 1.4.3.2.1.4

将 $50$ 乘以 $25$ 。

$- 625 + 1250 - 625$

解题步骤 1.4.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.3.2.2.1

将 $- 625$ 和 $1250$ 相加。

$625 - 625$

解题步骤 1.4.3.2.2.2

从 $625$ 中减去 $625$ 。

$0$

解题步骤 1.4.4

列出所有的点。

$(0, - 625), (- 5, 0), (5, 0)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 6$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 6$ 替换 $x$ 。

$- {(- 6)}^{4} + 50 {(- 6)}^{2} - 625$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

对 $- 6$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 1 \cdot 1296 + 50 {(- 6)}^{2} - 625$

解题步骤 2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1296$ 。

$- 1296 + 50 {(- 6)}^{2} - 625$

解题步骤 2.1.2.1.3

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1296 + 50 \cdot 36 - 625$

解题步骤 2.1.2.1.4

将 $50$ 乘以 $36$ 。

$- 1296 + 1800 - 625$

解题步骤 2.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将 $- 1296$ 和 $1800$ 相加。

$504 - 625$

解题步骤 2.1.2.2.2

从 $504$ 中减去 $625$ 。

$- 121$

解题步骤 2.2

在 $x = 6$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $6$ 替换 $x$ 。

$- {(6)}^{4} + 50 {(6)}^{2} - 625$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $6$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 1 \cdot 1296 + 50 {(6)}^{2} - 625$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1296$ 。

$- 1296 + 50 {(6)}^{2} - 625$

解题步骤 2.2.2.1.3

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1296 + 50 \cdot 36 - 625$

解题步骤 2.2.2.1.4

将 $50$ 乘以 $36$ 。

$- 1296 + 1800 - 625$

解题步骤 2.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.2.1

将 $- 1296$ 和 $1800$ 相加。

$504 - 625$

解题步骤 2.2.2.2.2

从 $504$ 中减去 $625$ 。

$- 121$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 6, - 121), (6, - 121)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(- 5, 0), (5, 0)$

最小绝对值： $(0, - 625)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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