微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ , $[0, 2]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 重写成 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

将 ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.1.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

约去公因数。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

重写表达式。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{2} + 1)}^{1}}$

解题步骤 1.1.1.4

化简。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.1.1.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.5.2

将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.6.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.9

在公分母上合并分子。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.10

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.11

合并分数。

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解题步骤 1.1.1.11.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.11.4

组合 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.12

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.14

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.15

合并分数。

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解题步骤 1.1.1.15.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.15.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.15.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.15.4

组合 $\frac{- 2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.17

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.19

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.20

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.21

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.21.1

从 $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.21.2

约去公因数。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (- x^{2})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.21.3

重写表达式。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.22

将负号移到分数的前面。

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.23

要将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.24

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.25

通过指数相加将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.1.25.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.25.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.25.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.25.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{\frac{{(x^{2} + 1)}^{1} - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.26

化简 ${(x^{2} + 1)}^{1}$ 。

$\frac{\frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.27

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{\frac{0 + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.28

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.29

将 $\frac{\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x^{2} + 1}$ 重写为乘积形式。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1.1.1.30

将 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} + 1}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)}$

解题步骤 1.1.1.31

通过指数相加将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.31.1

将 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.31.1.1

对 $x^{2} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{1}}$

解题步骤 1.1.1.31.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 1.1.1.31.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.31.3

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.31.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{0}{\sqrt{{(0)}^{2} + 1}}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简分母。

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解题步骤 2.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{\sqrt{0 + 1}}$

解题步骤 2.1.2.1.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{\sqrt{1}}$

解题步骤 2.1.2.1.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 2.1.2.2

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

解题步骤 2.2

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$\frac{2}{\sqrt{{(2)}^{2} + 1}}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简分母。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2}{\sqrt{4 + 1}}$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2}{\sqrt{5}}$

解题步骤 2.2.2.2

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 2.2.2.3

合并和化简分母。

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解题步骤 2.2.2.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 2.2.2.3.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

解题步骤 2.2.2.3.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

解题步骤 2.2.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.2.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.3.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 2.2.2.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.2.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.2.2.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}}$

解题步骤 2.2.2.3.6.5

计算指数。

$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(0, 0), (2, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(2, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

最小绝对值： $(0, 0)$

解题步骤 4

微积分学 示例

微积分学示例