微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - x + 1}$ , $[0, 3]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - x + 1$ 。

$\frac{(x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

将 $x^{2} - x + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - x + 1]}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.3

根据加法法则， $x^{2} - x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.7

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.8

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1 + 0)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.9

将 $2 x - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x - 1)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} - x + 1 - x (2 x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} - x + 1 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} - x \cdot - 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.4

乘以 $- x \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + 1 x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

合并 $x^{2} - x + 1 - 2 x^{2} + x$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.2.1

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2} + 0}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2.2

将 $x^{2} + 1 - 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.3

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.2

将 $- x^{2}$ 和 $1^{2}$ 重新排序。

$\frac{1^{2} - x^{2}}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$f' (x) = \frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{{(x^{2} - x + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$(1 + x) (1 - x) = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

解题步骤 1.2.3.2

将 $1 + x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将 $1 + x$ 设为等于 $0$ 。

$1 + x = 0$

解题步骤 1.2.3.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.3.3

将 $1 - x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.1

将 $1 - x$ 设为等于 $0$ 。

$1 - x = 0$

解题步骤 1.2.3.3.2

求解 $x$ 的 $1 - x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x = - 1$

解题步骤 1.2.3.3.2.2

将 $- x = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.3.2.2.1

将 $- x = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.3.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.3.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.2.3.4

最终解为使 $(1 + x) (1 - x) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 1$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{x}{x^{2} - x + 1}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} - (- 1) + 1}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简分母。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 1}{1 - (- 1) + 1}$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 1}{1 + 1 + 1}$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 1}{2 + 1}$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 1}{3}$

解题步骤 1.4.1.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\frac{1}{{(1)}^{2} - (1) + 1}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简分母。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{1 - (1) + 1}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{1 - 1 + 1}$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{0 + 1}$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{1}$

解题步骤 1.4.2.2.2

用 $1$ 除以 $1$ 。

$1$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(- 1, - \frac{1}{3}), (1, 1)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(1, 1)$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{0}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

化简分母。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 - (0) + 1}$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 0 + 1}$

解题步骤 3.1.2.1.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0 + 1}$

解题步骤 3.1.2.1.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 3.1.2.2

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

解题步骤 3.2

在 $x = 3$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $3$ 替换 $x$ 。

$\frac{3}{{(3)}^{2} - (3) + 1}$

解题步骤 3.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.2.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{3}{9 - (3) + 1}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3}{9 - 3 + 1}$

解题步骤 3.2.2.3

从 $9$ 中减去 $3$ 。

$\frac{3}{6 + 1}$

解题步骤 3.2.2.4

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$\frac{3}{7}$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(0, 0), (3, \frac{3}{7})$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(1, 1)$

最小绝对值： $(0, 0)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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