微积分学示例

$f (x) = x^{2} + x - 4$ , $[0, 8]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} + x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

解题步骤 1.1.1.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x + 1 + 0$

解题步骤 1.1.1.5

将 $2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 x + 1$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x + 1$ 。

$2 x + 1$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x = - 1$

解题步骤 1.2.3

将 $2 x = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $2 x = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{2} + x - 4$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = - \frac{1}{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $- \frac{1}{2}$ 替换 $x$ 。

${(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

去掉圆括号。

${(- \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

解题步骤 1.4.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} - 4$

解题步骤 1.4.1.2.2.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 \frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

解题步骤 1.4.1.2.2.3

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1^{2}}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

解题步骤 1.4.1.2.2.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{2} - 4$

解题步骤 1.4.1.2.2.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 4$

解题步骤 1.4.1.2.3

求公分母。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 4$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} - 4$

解题步骤 1.4.1.2.3.3

将 $- 4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1}$

解题步骤 1.4.1.2.3.4

将 $\frac{- 4}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4}{1} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.3.5

将 $\frac{- 4}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.3.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1 - 2 - 4 \cdot 4}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.5

化简表达式。

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解题步骤 1.4.1.2.5.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1 - 2 - 16}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.5.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 1 - 16}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.5.3

从 $- 1$ 中减去 $16$ 。

$\frac{- 17}{4}$

解题步骤 1.4.1.2.5.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{17}{4}$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(- \frac{1}{2}, - \frac{17}{4})$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{2} + 0 - 4$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

去掉圆括号。

${(0)}^{2} + 0 - 4$

解题步骤 3.1.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 - 4$

解题步骤 3.1.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - 4$

解题步骤 3.1.2.4

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$- 4$

解题步骤 3.2

在 $x = 8$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $8$ 替换 $x$ 。

${(8)}^{2} + 8 - 4$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

去掉圆括号。

${(8)}^{2} + 8 - 4$

解题步骤 3.2.2.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 + 8 - 4$

解题步骤 3.2.2.3

将 $64$ 和 $8$ 相加。

$72 - 4$

解题步骤 3.2.2.4

从 $72$ 中减去 $4$ 。

$68$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(0, - 4), (8, 68)$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(8, 68)$

最小绝对值： $(0, - 4)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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