微积分学示例

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ , $(- 3, 6)$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.4.3

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 36 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.5.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 36 + 0$

解题步骤 1.1.1.5.2

将 $6 x^{2} + 6 x - 36$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 36$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $6 x^{2} + 6 x - 36$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 36$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $6 x^{2} + 6 x - 36 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 36 = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $6 x^{2} + 6 x - 36$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 x - 36 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 36 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

从 $- 36$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 6 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.4

从 $6 (x^{2}) + 6 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 6 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.5

从 $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (x^{2} + x - 6) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $1$ 。

$- 2, 3$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$6 ((x - 2) (x + 3)) = 0$

解题步骤 1.2.2.2.2

去掉多余的括号。

$6 (x - 2) (x + 3) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.2.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $6 (x - 2) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 3$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

$2 {(2)}^{3} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

通过指数相加将 $2$ 乘以 ${(2)}^{3}$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1.1

将 $2$ 乘以 ${(2)}^{3}$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$2^{1} {(2)}^{3} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

解题步骤 1.4.1.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{1 + 3} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

解题步骤 1.4.1.2.1.1.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$2^{4} + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 + 3 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 7$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$16 + 3 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 7$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$16 + 12 - 36 \cdot 2 + 7$

解题步骤 1.4.1.2.1.5

将 $- 36$ 乘以 $2$ 。

$16 + 12 - 72 + 7$

解题步骤 1.4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $16$ 和 $12$ 相加。

$28 - 72 + 7$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

从 $28$ 中减去 $72$ 。

$- 44 + 7$

解题步骤 1.4.1.2.2.3

将 $- 44$ 和 $7$ 相加。

$- 37$

解题步骤 1.4.2

在 $x = - 3$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $- 3$ 替换 $x$ 。

$2 {(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3 + 7$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot - 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3 + 7$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 27$ 。

$- 54 + 3 {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3 + 7$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 54 + 3 \cdot 9 - 36 \cdot - 3 + 7$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$- 54 + 27 - 36 \cdot - 3 + 7$

解题步骤 1.4.2.2.1.5

将 $- 36$ 乘以 $- 3$ 。

$- 54 + 27 + 108 + 7$

解题步骤 1.4.2.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

将 $- 54$ 和 $27$ 相加。

$- 27 + 108 + 7$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

将 $- 27$ 和 $108$ 相加。

$81 + 7$

解题步骤 1.4.2.2.2.3

将 $81$ 和 $7$ 相加。

$88$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(2, - 37), (- 3, 88)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(2, - 37)$

解题步骤 3

使用一阶导数判别法来确定哪些点可能有极大值或极小值。

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解题步骤 3.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

解题步骤 3.2

将区间 $(- \infty, - 3)$ 内的任一数字（例如 $- 6$ ）代入一阶导数 $6 x^{2} + 6 x - 36$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.2.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 6) = 6 {(- 6)}^{2} + 6 (- 6) - 36$

解题步骤 3.2.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 6) = 6 \cdot 36 + 6 (- 6) - 36$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $6$ 乘以 $36$ 。

$f' (- 6) = 216 + 6 (- 6) - 36$

解题步骤 3.2.2.1.3

将 $6$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (- 6) = 216 - 36 - 36$

解题步骤 3.2.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 3.2.2.2.1

从 $216$ 中减去 $36$ 。

$f' (- 6) = 180 - 36$

解题步骤 3.2.2.2.2

从 $180$ 中减去 $36$ 。

$f' (- 6) = 144$

解题步骤 3.2.2.3

最终答案为 $144$ 。

$144$

解题步骤 3.3

将区间 $(- 3, 2)$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $6 x^{2} + 6 x - 36$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = 6 {(0)}^{2} + 6 (0) - 36$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f' (0) = 6 \cdot 0 + 6 (0) - 36$

解题步骤 3.3.2.1.2

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 6 (0) - 36$

解题步骤 3.3.2.1.3

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 0 - 36$

解题步骤 3.3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.3.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f' (0) = 0 - 36$

解题步骤 3.3.2.2.2

从 $0$ 中减去 $36$ 。

$f' (0) = - 36$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $- 36$ 。

$- 36$

解题步骤 3.4

将区间 $(2, \infty)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $6 x^{2} + 6 x - 36$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.4.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = 6 {(4)}^{2} + 6 (4) - 36$

解题步骤 3.4.2

化简结果。

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解题步骤 3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = 6 \cdot 16 + 6 (4) - 36$

解题步骤 3.4.2.1.2

将 $6$ 乘以 $16$ 。

$f' (4) = 96 + 6 (4) - 36$

解题步骤 3.4.2.1.3

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = 96 + 24 - 36$

解题步骤 3.4.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.4.2.2.1

将 $96$ 和 $24$ 相加。

$f' (4) = 120 - 36$

解题步骤 3.4.2.2.2

从 $120$ 中减去 $36$ 。

$f' (4) = 84$

解题步骤 3.4.2.3

最终答案为 $84$ 。

$84$

解题步骤 3.5

由于一阶导数在 $x = - 3$ 周围从正号变为负号，因此 $x = - 3$ 是极大值。

$x = - 3$ 是一个极大值

解题步骤 3.6

由于一阶导数在 $x = 2$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 2$ 是极小值。

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 3.7

这些是 $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 7$ 的局部极值。

$x = - 3$ 是一个极大值

$x = 2$ 是一个极小值

$x = - 3$ 是一个极大值

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

没有绝对最大值

最小绝对值： $(2, - 37)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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