微积分学示例

$f (x) = \frac{9}{x - 1}$ , $[1, 4]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{9}{x - 1}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 1}]$

解题步骤 1.1.1.1.2

将 $\frac{1}{x - 1}$ 重写为 ${(x - 1)}^{- 1}$ 。

$9 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{- 1}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$9 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$9 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$9 (- {(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$- 9 ({(x - 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 1])$

解题步骤 1.1.1.3.2

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 1.1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 1.1.1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} (1 + 0)$

解题步骤 1.1.1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.3.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 9 {(x - 1)}^{- 2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.3.5.2

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$- 9 {(x - 1)}^{- 2}$

解题步骤 1.1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 9 \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.1.1.4.2.1

组合 $- 9$ 和 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ 。

$\frac{- 9}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{9}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$9 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $9 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{9}{{(x - 1)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.3.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{9}{x - 1}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\frac{9}{(1) - 1}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{9}{0}$

解题步骤 1.4.1.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 1.5

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\frac{9}{(1) - 1}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{9}{0}$

解题步骤 2.1.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 2.2

在 $x = 4$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$\frac{9}{(4) - 1}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$\frac{9}{3}$

解题步骤 2.2.2.2

用 $9$ 除以 $3$ 。

$3$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(4, 3)$

解题步骤 3

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

没有绝对最大值

最小绝对值： $(4, 3)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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