微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ , $[- 36, 36]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 36$ 且 $g (x) = x^{2} + 36$ 。

$\frac{(x^{2} + 36) \frac{d}{d x} [x^{2} - 36] - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ 。

$\frac{(x^{2} + 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + \frac{d}{d x} [- 36]) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.3

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x + 0) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x^{2} + 36) (2 x) - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + 36$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) \frac{d}{d x} [x^{2} + 36]}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.5

根据加法法则， $x^{2} + 36$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + \frac{d}{d x} [36])}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.7

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - (x^{2} - 36) (2 x)}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (x^{2} + 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 36) x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 (x^{2} - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 36) x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.5.1

合并 $2 x^{2} x + 2 \cdot 36 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 36 x$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.1.3.5.1.1

从 $2 x^{2} x$ 中减去 $2 x^{2} x$ 。

$\frac{2 \cdot 36 x + 0 - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.1.2

将 $2 \cdot 36 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \cdot 36 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.5.2.1

将 $2$ 乘以 $36$ 。

$\frac{72 x - 2 \cdot - 36 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 36$ 。

$\frac{72 x + 72 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5.3

将 $72 x$ 和 $72 x$ 相加。

$f' (x) = \frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$ 。

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{144 x}{{(x^{2} + 36)}^{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$144 x = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $144 x = 0$ 中的每一项除以 $144$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $144 x = 0$ 中的每一项都除以 $144$ 。

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $144$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{144 x}{144} = \frac{0}{144}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{144}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

用 $0$ 除以 $144$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 36}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(0)}^{2} - 36}{{(0)}^{2} + 36}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 - 36}{0^{2} + 36}$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

从 $0$ 中减去 $36$ 。

$\frac{- 36}{0^{2} + 36}$

解题步骤 1.4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{- 36}{0 + 36}$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 和 $36$ 相加。

$\frac{- 36}{36}$

解题步骤 1.4.1.2.3

用 $- 36$ 除以 $36$ 。

$- 1$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(0, - 1)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 36$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 36$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{{(- 36)}^{2} + 36}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.1.1

约去 ${(- 36)}^{2} - 36$ 和 ${(- 36)}^{2} + 36$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1.1

从 ${(- 36)}^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) + 36}$

解题步骤 2.1.2.1.1.2

将 $36$ 重写为 $- 1 (- 36)$ 。

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.3

从 $- 1 (- {(- 36)}^{2}) - 1 (- 36)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{{(- 36)}^{2} - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.4

从 ${(- 36)}^{2}$ 中分解出因数 $- 36$ 。

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.5

从 $- 36$ 中分解出因数 $- 36$ 。

$\frac{- 36 \cdot - 36 - 36 (1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.6

从 $- 36 \cdot - 36 - 36 (1)$ 中分解出因数 $- 36$ 。

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)}$

解题步骤 2.1.2.1.1.7

约去公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1.7.1

从 $- 1 (- {(- 36)}^{2} - 36)$ 中分解出因数 $- 36$ 。

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

解题步骤 2.1.2.1.1.7.2

约去公因数。

$\frac{- 36 \cdot (- 36 + 1)}{- 36 (- 1 (- - 36 + 1))}$

解题步骤 2.1.2.1.1.7.3

重写表达式。

$\frac{- 36 + 1}{- 1 (- - 36 + 1)}$

解题步骤 2.1.2.1.2

将 $- 36$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 35}{- 1 (- - 36 + 1)}$

解题步骤 2.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 36$ 。

$\frac{- 35}{- 1 (36 + 1)}$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $36$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 35}{- 1 \cdot 37}$

解题步骤 2.1.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $37$ 。

$\frac{- 35}{- 37}$

解题步骤 2.1.2.3.2

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{35}{37}$

解题步骤 2.2

在 $x = 36$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $36$ 替换 $x$ 。

$\frac{{(36)}^{2} - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 ${(36)}^{2} - 36$ 和 ${(36)}^{2} + 36$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

从 ${(36)}^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 36}{{(36)}^{2} + 36}$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $- 36$ 重写为 $- 1 (36)$ 。

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)}{{(36)}^{2} + 36}$

解题步骤 2.2.2.1.3

从 $- 1 (- {(36)}^{2}) - 1 (36)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- {(36)}^{2} + 36)}{{(36)}^{2} + 36}$

解题步骤 2.2.2.1.4

从 $- 1 (- 36^{2} + 36)$ 中分解出因数 $36$ 。

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36^{2} + 36}$

解题步骤 2.2.2.1.5

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.5.1

从 $36^{2}$ 中分解出因数 $36$ 。

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36}$

解题步骤 2.2.2.1.5.2

从 $36$ 中分解出因数 $36$ 。

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot 36 + 36 (1)}$

解题步骤 2.2.2.1.5.3

从 $36 \cdot 36 + 36 (1)$ 中分解出因数 $36$ 。

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

解题步骤 2.2.2.1.5.4

约去公因数。

$\frac{36 (- 1 (- 1 \cdot 36 + 1))}{36 \cdot (36 + 1)}$

解题步骤 2.2.2.1.5.5

重写表达式。

$\frac{- 1 (- 1 \cdot 36 + 1)}{36 + 1}$

解题步骤 2.2.2.2

化简分子。

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解题步骤 2.2.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $36$ 。

$\frac{- 1 (- 36 + 1)}{36 + 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $- 36$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot - 35}{36 + 1}$

解题步骤 2.2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.3.1

将 $36$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 1 \cdot - 35}{37}$

解题步骤 2.2.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 35$ 。

$\frac{35}{37}$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(- 36, \frac{35}{37}), (36, \frac{35}{37})$

最小绝对值： $(0, - 1)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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