微积分学示例

$f (x) = 9 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ , $[0, 6]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $9 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$18 x + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- \frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{2} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$18 x - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$18 x - \frac{3}{2} (3 x^{2})$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$18 x - 3 (\frac{3}{2}) x^{2}$

解题步骤 1.1.1.3.4

组合 $- 3$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$18 x + \frac{- 3 \cdot 3}{2} x^{2}$

解题步骤 1.1.1.3.5

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$18 x + \frac{- 9}{2} x^{2}$

解题步骤 1.1.1.3.6

组合 $\frac{- 9}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$18 x + \frac{- 9 x^{2}}{2}$

解题步骤 1.1.1.3.7

将负号移到分数的前面。

$18 x - \frac{9 x^{2}}{2}$

解题步骤 1.1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = - \frac{9 x^{2}}{2} + 18 x$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{9 x^{2}}{2} + 18 x$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 18 x$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{9 x^{2}}{2} + 18 x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} + 18 x = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $- \frac{9 x^{2}}{2} + 18 x = 0$ 中的每一项乘以 $2$ 以消去分数。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $- \frac{9 x^{2}}{2} + 18 x = 0$ 中的每一项乘以 $2$ 。

$- \frac{9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 18 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1.1

将 $- \frac{9 x^{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 18 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

解题步骤 1.2.2.2.1.1.2

约去公因数。

$\frac{- 9 x^{2}}{2} \cdot 2 + 18 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

解题步骤 1.2.2.2.1.1.3

重写表达式。

$- 9 x^{2} + 18 x \cdot 2 = 0 \cdot 2$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $18$ 。

$- 9 x^{2} + 36 x = 0 \cdot 2$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$- 9 x^{2} + 36 x = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $- 9 x^{2} + 36 x$ 中分解出因数 $- 9 x$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

从 $- 9 x^{2}$ 中分解出因数 $- 9 x$ 。

$- 9 x \cdot x + 36 x = 0$

解题步骤 1.2.3.2

从 $36 x$ 中分解出因数 $- 9 x$ 。

$- 9 x \cdot x - 9 x \cdot - 4 = 0$

解题步骤 1.2.3.3

从 $- 9 x (x) - 9 x (- 4)$ 中分解出因数 $- 9 x$ 。

$- 9 x (x - 4) = 0$

解题步骤 1.2.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 4 = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.6

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 1.2.7

最终解为使 $- 9 x (x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 4$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $9 x^{2} - \frac{3}{2} x^{3}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$9 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$9 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

乘以 $- \frac{3}{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.1.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

解题步骤 1.4.1.2.1.4.2

将 $0$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$0 + 0$

解题步骤 1.4.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 4$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$9 {(4)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{3}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 \cdot 16 - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{3}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

将 $9$ 乘以 $16$ 。

$144 - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{3}$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$144 - \frac{3}{2} \cdot 64$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.4.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$144 + \frac{- 3}{2} \cdot 64$

解题步骤 1.4.2.2.1.4.2

从 $64$ 中分解出因数 $2$ 。

$144 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (32))$

解题步骤 1.4.2.2.1.4.3

约去公因数。

$144 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 32)$

解题步骤 1.4.2.2.1.4.4

重写表达式。

$144 - 3 \cdot 32$

解题步骤 1.4.2.2.1.5

将 $- 3$ 乘以 $32$ 。

$144 - 96$

解题步骤 1.4.2.2.2

从 $144$ 中减去 $96$ 。

$48$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(0, 0), (4, 48)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$9 {(0)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$9 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

解题步骤 2.1.2.1.2

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{3}$

解题步骤 2.1.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

解题步骤 2.1.2.1.4

乘以 $- \frac{3}{2} \cdot 0$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

解题步骤 2.1.2.1.4.2

将 $0$ 乘以 $\frac{3}{2}$ 。

$0 + 0$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 2.2

在 $x = 6$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $6$ 替换 $x$ 。

$9 {(6)}^{2} - \frac{3}{2} \cdot {(6)}^{3}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$9 \cdot 36 - \frac{3}{2} \cdot {(6)}^{3}$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $9$ 乘以 $36$ 。

$324 - \frac{3}{2} \cdot {(6)}^{3}$

解题步骤 2.2.2.1.3

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$324 - \frac{3}{2} \cdot 216$

解题步骤 2.2.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.4.1

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$324 + \frac{- 3}{2} \cdot 216$

解题步骤 2.2.2.1.4.2

从 $216$ 中分解出因数 $2$ 。

$324 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (108))$

解题步骤 2.2.2.1.4.3

约去公因数。

$324 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 108)$

解题步骤 2.2.2.1.4.4

重写表达式。

$324 - 3 \cdot 108$

解题步骤 2.2.2.1.5

将 $- 3$ 乘以 $108$ 。

$324 - 324$

解题步骤 2.2.2.2

从 $324$ 中减去 $324$ 。

$0$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(0, 0), (6, 0)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(4, 48)$

最小绝对值： $(0, 0), (6, 0)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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