微积分学示例

$f (x) = x + \frac{9}{x}$ , $[3, 20]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x + \frac{9}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{9}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$1 + 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$1 + 9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$1 + 9 (- x^{- 2})$

解题步骤 1.1.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$1 - 9 x^{- 2}$

解题步骤 1.1.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$1 - 9 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.1.4.1

合并项。

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解题步骤 1.1.1.4.1.1

组合 $- 9$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$1 + \frac{- 9}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4.1.2

将负号移到分数的前面。

$1 - \frac{9}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4.2

重新排序项。

$f' (x) = - \frac{9}{x^{2}} + 1$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{9}{x^{2}} + 1$ 。

$- \frac{9}{x^{2}} + 1$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{9}{x^{2}} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{9}{x^{2}} + 1 = 0$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \frac{9}{x^{2}} = - 1$

解题步骤 1.2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{2}, 1$

解题步骤 1.2.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

解题步骤 1.2.4

将 $- \frac{9}{x^{2}} = - 1$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $- \frac{9}{x^{2}} = - 1$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$- \frac{9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

解题步骤 1.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

将 $- \frac{9}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

重写表达式。

$- 9 = - x^{2}$

解题步骤 1.2.5

求解方程。

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解题步骤 1.2.5.1

将方程重写为 $- x^{2} = - 9$ 。

$- x^{2} = - 9$

解题步骤 1.2.5.2

将 $- x^{2} = - 9$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.5.2.1

将 $- x^{2} = - 9$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 1.2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 1.2.5.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 1.2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1

用 $- 9$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 9$

解题步骤 1.2.5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{9}$

解题步骤 1.2.5.4

化简 $\pm \sqrt{9}$ 。

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解题步骤 1.2.5.4.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 1.2.5.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 3$

解题步骤 1.2.5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3$

解题步骤 1.2.5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3$

解题步骤 1.2.5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3, - 3$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{9}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 1.3.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x + \frac{9}{x}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 3$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $3$ 替换 $x$ 。

$(3) + \frac{9}{3}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

用 $9$ 除以 $3$ 。

$3 + 3$

解题步骤 1.4.1.2.2

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$6$

解题步骤 1.4.2

在 $x = - 3$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $- 3$ 替换 $x$ 。

$(- 3) + \frac{9}{- 3}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

用 $9$ 除以 $- 3$ 。

$- 3 - 3$

解题步骤 1.4.2.2.2

从 $- 3$ 中减去 $3$ 。

$- 6$

解题步骤 1.4.3

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.3.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$(0) + \frac{9}{0}$

解题步骤 1.4.3.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 1.4.4

列出所有的点。

$(3, 6), (- 3, - 6)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(3, 6)$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = 3$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $3$ 替换 $x$ 。

$(3) + \frac{9}{3}$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

用 $9$ 除以 $3$ 。

$3 + 3$

解题步骤 3.1.2.2

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$6$

解题步骤 3.2

在 $x = 20$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $20$ 替换 $x$ 。

$(20) + \frac{9}{20}$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

要将 $20$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{20}{20}$ 。

$20 \cdot \frac{20}{20} + \frac{9}{20}$

解题步骤 3.2.2.2

组合 $20$ 和 $\frac{20}{20}$ 。

$\frac{20 \cdot 20}{20} + \frac{9}{20}$

解题步骤 3.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{20 \cdot 20 + 9}{20}$

解题步骤 3.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.2.2.4.1

将 $20$ 乘以 $20$ 。

$\frac{400 + 9}{20}$

解题步骤 3.2.2.4.2

将 $400$ 和 $9$ 相加。

$\frac{409}{20}$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(3, 6), (20, \frac{409}{20})$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(20, \frac{409}{20})$

最小绝对值： $(3, 6)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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