微积分学示例

$y^{2} = x^{2} + y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 y y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x^{2} + y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$2 x + y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' = 2 x + y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $y'$ 。

$2 y y' - y' = 2 x$

解题步骤 5.2

从 $2 y y' - y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $2 y y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 y) - y' = 2 x$

解题步骤 5.2.2

从 $- y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 y) + y' \cdot - 1 = 2 x$

解题步骤 5.2.3

从 $y' (2 y) + y' \cdot - 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (2 y - 1) = 2 x$

解题步骤 5.3

将 $y' (2 y - 1) = 2 x$ 中的每一项除以 $2 y - 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $y' (2 y - 1) = 2 x$ 中的每一项都除以 $2 y - 1$ 。

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $2 y - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (2 y - 1)}{2 y - 1} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{2 x}{2 y - 1}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{2 y - 1}$

解题步骤 7

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将分子设为等于零。

$2 x = 0$

解题步骤 7.2

将 $2 x = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.2.1

将 $2 x = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{2}$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x = 0$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简 $0^{2} + y$ 。

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解题步骤 8.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y^{2} = 0 + y$

解题步骤 8.1.2

将 $0$ 和 $y$ 相加。

$y^{2} = y$

解题步骤 8.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$y^{2} - y = 0$

解题步骤 8.3

从 $y^{2} - y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 8.3.1

从 $y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot y - y = 0$

解题步骤 8.3.2

从 $- y$ 中分解出因数 $y$ 。

$y \cdot y + y \cdot - 1 = 0$

解题步骤 8.3.3

从 $y \cdot y + y \cdot - 1$ 中分解出因数 $y$ 。

$y (y - 1) = 0$

解题步骤 8.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y = 0$

$y - 1 = 0$

解题步骤 8.5

将 $y$ 设为等于 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 8.6

将 $y - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 8.6.1

将 $y - 1$ 设为等于 $0$ 。

$y - 1 = 0$

解题步骤 8.6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 8.7

最终解为使 $y (y - 1) = 0$ 成立的所有值。

$y = 0, 1$

解题步骤 9

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(0, 0)$

$(0, 1)$

解题步骤 10

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