微积分学示例

$x^{3} + y^{3} = 21 x y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (21 x y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} + y^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $21$ 对于 $x$ 是常数，所以 $21 x y$ 对 $x$ 的导数是 $21 \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$21 \frac{d}{d x} [x y]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$21 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$21 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$21 (x y' + y \cdot 1)$

解题步骤 3.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$21 (x y' + y)$

解题步骤 3.6

运用分配律。

$21 x y' + 21 y$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 21 x y' + 21 y$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $21 x y'$ 。

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 21 x y' = 21 y$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$3 y^{2} y' - 21 x y' = 21 y - 3 x^{2}$

解题步骤 5.3

从 $3 y^{2} y' - 21 x y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $3 y^{2} y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' y^{2} - 21 x y' = 21 y - 3 x^{2}$

解题步骤 5.3.2

从 $- 21 x y'$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$

解题步骤 5.3.3

从 $3 y' y^{2} + 3 y' (- 7 x)$ 中分解出因数 $3 y'$ 。

$3 y' (y^{2} - 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$

解题步骤 5.4

将 $3 y' (y^{2} - 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$ 中的每一项除以 $3 (y^{2} - 7 x)$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $3 y' (y^{2} - 7 x) = 21 y - 3 x^{2}$ 中的每一项都除以 $3 (y^{2} - 7 x)$ 。

$\frac{3 y' (y^{2} - 7 x)}{3 (y^{2} - 7 x)} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y' (y^{2} - 7 x)}{3 (y^{2} - 7 x)} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (y^{2} - 7 x)}{y^{2} - 7 x} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

解题步骤 5.4.2.2

约去 $y^{2} - 7 x$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (y^{2} - 7 x)}{y^{2} - 7 x} = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

解题步骤 5.4.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{21 y}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.3.1.1

约去 $21$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.1.1

从 $21 y$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{3 (7 y)}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{3 (7 y)}{3 (y^{2} - 7 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

解题步骤 5.4.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 (y^{2} - 7 x)}$

解题步骤 5.4.3.1.2

约去 $- 3$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.2.1

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 7 x)}$

解题步骤 5.4.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 5.4.3.1.2.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y^{2} - 7 x)}$

解题步骤 5.4.3.1.2.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} + \frac{- x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

解题步骤 5.4.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y' = \frac{7 y}{y^{2} - 7 x} - \frac{x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

解题步骤 5.4.3.2

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{7 y - x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 y - x^{2}}{y^{2} - 7 x}$

解题步骤 7

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将分子设为等于零。

$7 y - x^{2} = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $7 y$ 。

$- x^{2} = - 7 y$

解题步骤 7.2.2

将 $- x^{2} = - 7 y$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $- x^{2} = - 7 y$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 7 y}{- 1}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 7 y}{- 1}$

解题步骤 7.2.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 7 y}{- 1}$

解题步骤 7.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.3.1

移动 $\frac{- 7 y}{- 1}$ 中分母的负号。

$x^{2} = - 1 \cdot (- 7 y)$

解题步骤 7.2.2.3.2

将 $- 1 \cdot (- 7 y)$ 重写为 $- (- 7 y)$ 。

$x^{2} = - (- 7 y)$

解题步骤 7.2.2.3.3

将 $- 7$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} = 7 y$

解题步骤 7.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{7 y}$

解题步骤 7.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{7 y}$

解题步骤 7.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{7 y}$

解题步骤 7.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

$x = \sqrt{7 y}$

$x = - \sqrt{7 y}$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

将 ${\sqrt{7 y}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{{(7 y)}^{3}}$ 。

$\sqrt{{(7 y)}^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

解题步骤 8.1.2

对 $7 y$ 运用乘积法则。

$\sqrt{7^{3} y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

解题步骤 8.1.3

对 $7$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt{343 y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

解题步骤 8.1.4

将 $343 y^{3}$ 重写为 ${(7 y)}^{2} \cdot (7 y)$ 。

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解题步骤 8.1.4.1

从 $343$ 中分解出因数 $49$ 。

$\sqrt{49 (7) y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

解题步骤 8.1.4.2

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$\sqrt{7^{2} \cdot 7 y^{3}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

解题步骤 8.1.4.3

因式分解出 $y^{2}$ 。

$\sqrt{7^{2} \cdot 7 (y^{2} y)} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

解题步骤 8.1.4.4

移动 $7$ 。

$\sqrt{7^{2} y^{2} \cdot 7 y} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

解题步骤 8.1.4.5

将 $7^{2} y^{2}$ 重写为 ${(7 y)}^{2}$ 。

$\sqrt{{(7 y)}^{2} \cdot 7 y} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

解题步骤 8.1.4.6

添加圆括号。

$\sqrt{{(7 y)}^{2} \cdot (7 y)} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

解题步骤 8.1.5

从根式下提出各项。

$7 y \sqrt{7 y} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

解题步骤 8.2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 y}$ 重写成 ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$7 y {(7 y)}^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 \sqrt{7 y} y$

解题步骤 8.3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7 y}$ 重写成 ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$7 y {(7 y)}^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

解题步骤 8.4

化简每一项。

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解题步骤 8.4.1

对 $7 y$ 运用乘积法则。

$7 y (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

解题步骤 8.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$7 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

解题步骤 8.4.3

通过指数相加将 $7$ 乘以 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 8.4.3.1

将 $7$ 乘以 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 8.4.3.1.1

对 $7$ 进行 $1$ 次方运算。

$7^{1} \cdot 7^{\frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

解题步骤 8.4.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7^{1 + \frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

解题步骤 8.4.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$7^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

解题步骤 8.4.3.3

在公分母上合并分子。

$7^{\frac{2 + 1}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

解题步骤 8.4.3.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$7^{\frac{3}{2}} y \cdot y^{\frac{1}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

解题步骤 8.4.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 8.4.4.1

移动 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

$7^{\frac{3}{2}} (y^{\frac{1}{2}} y) + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

解题步骤 8.4.4.2

将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 8.4.4.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$7^{\frac{3}{2}} (y^{\frac{1}{2}} y^{1}) + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

解题步骤 8.4.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2} + 1} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

解题步骤 8.4.4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

解题步骤 8.4.4.4

在公分母上合并分子。

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{1 + 2}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

解题步骤 8.4.4.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$

解题步骤 8.5

化简 $21 {(7 y)}^{\frac{1}{2}} y$ 。

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解题步骤 8.5.1

对 $7 y$ 运用乘积法则。

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) y$

解题步骤 8.5.2

通过指数相加将 $y^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 8.5.2.1

移动 $y$ 。

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} (y \cdot y^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 8.5.2.2

将 $y$ 乘以 $y^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 8.5.2.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} (y^{1} y^{\frac{1}{2}}))$

解题步骤 8.5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{1 + \frac{1}{2}})$

解题步骤 8.5.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})$

解题步骤 8.5.2.4

在公分母上合并分子。

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2 + 1}{2}})$

解题步骤 8.5.2.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}})$

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} = 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 8.6

从等式两边同时减去 $21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}}$ 。

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} + y^{3} - 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}} = 0$

解题步骤 8.7

求每项中都有的公因数 $y^{\frac{3}{2}}$ 。

$7^{\frac{3}{2}} y^{\frac{3}{2}} {(y^{\frac{3}{2}})}^{2} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} y^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 8.8

代入 $u$ 替换 $y^{\frac{3}{2}}$ 。

$7^{\frac{3}{2}} (u) {(u)}^{2} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

解题步骤 8.9

求解 $u$ 。

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解题步骤 8.9.1

化简 $7^{\frac{3}{2}} (u) {(u)}^{2} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u))$ 。

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解题步骤 8.9.1.1

通过指数相加将 $u$ 乘以 ${(u)}^{2}$ 。

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解题步骤 8.9.1.1.1

移动 ${(u)}^{2}$ 。

$7^{\frac{3}{2}} ({(u)}^{2} u) - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

解题步骤 8.9.1.1.2

将 ${(u)}^{2}$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 8.9.1.1.2.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$7^{\frac{3}{2}} ({(u)}^{2} u^{1}) - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

解题步骤 8.9.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$7^{\frac{3}{2}} u^{2 + 1} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

解题步骤 8.9.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$7^{\frac{3}{2}} u^{3} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} (u)) = 0$

$7^{\frac{3}{2}} u^{3} - 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} u = 0$

解题步骤 8.9.1.2

将 $7^{\frac{3}{2}} u^{3} - 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} u$ 中的因式重新排序。

$u^{3} \cdot 7^{\frac{3}{2}} - 21 u \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 8.9.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 8.9.2.1

从 $u^{3} \cdot 7^{\frac{3}{2}} - 21 u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 8.9.2.1.1

将表达式重新排序。

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解题步骤 8.9.2.1.1.1

将 $u^{3}$ 和 $7^{\frac{3}{2}}$ 重新排序。

$7^{\frac{3}{2}} \cdot u^{3} - 21 u \cdot 7^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 8.9.2.1.1.2

移动 $u$ 。

$7^{\frac{3}{2}} \cdot u^{3} - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} u) = 0$

解题步骤 8.9.2.1.2

从 $7^{\frac{3}{2}} \cdot u^{3}$ 中分解出因数 $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ 。

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2})) - 21 \cdot (7^{\frac{1}{2}} u) = 0$

解题步骤 8.9.2.1.3

从 $- 21 \cdot 7^{\frac{1}{2}} u$ 中分解出因数 $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ 。

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2})) + u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (- 21)) = 0$

解题步骤 8.9.2.1.4

从 $u \cdot 7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2}) + u \cdot 7^{\frac{1}{2}} (- 21)$ 中分解出因数 $u \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ 。

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7^{\frac{2}{2}} \cdot u^{2} - 21)) = 0$

解题步骤 8.9.2.2

用 $2$ 除以 $2$ 。

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 \cdot u^{2} - 21)) = 0$

解题步骤 8.9.2.3

计算指数。

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 u^{2} - 21)) = 0$

解题步骤 8.9.2.4

因数。

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解题步骤 8.9.2.4.1

从 $7 u^{2} - 21$ 中分解出因数 $7$ 。

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解题步骤 8.9.2.4.1.1

从 $7 u^{2}$ 中分解出因数 $7$ 。

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 (u^{2}) - 21)) = 0$

解题步骤 8.9.2.4.1.2

从 $- 21$ 中分解出因数 $7$ 。

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 u^{2} + 7 \cdot - 3)) = 0$

解题步骤 8.9.2.4.1.3

从 $7 u^{2} + 7 \cdot - 3$ 中分解出因数 $7$ 。

$u \cdot (7^{\frac{1}{2}} (7 (u^{2} - 3))) = 0$

解题步骤 8.9.2.4.2

去掉多余的括号。

$u \cdot 7^{\frac{1}{2}} \cdot (7 (u^{2} - 3)) = 0$

解题步骤 8.9.2.5

合并指数。

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解题步骤 8.9.2.5.1

对 $7$ 进行 $1$ 次方运算。

$u \cdot ((7 \cdot 7^{\frac{1}{2}}) (u^{2} - 3)) = 0$

解题步骤 8.9.2.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u \cdot (7^{1 + \frac{1}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

解题步骤 8.9.2.5.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$u \cdot (7^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

解题步骤 8.9.2.5.4

在公分母上合并分子。

$u \cdot (7^{\frac{2 + 1}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

解题步骤 8.9.2.5.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$u \cdot (7^{\frac{3}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$

解题步骤 8.9.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

解题步骤 8.9.4

将 $u$ 设为等于 $0$ 。

$u = 0$

解题步骤 8.9.5

将 $u^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 8.9.5.1

将 $u^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$u^{2} - 3 = 0$

解题步骤 8.9.5.2

求解 $u$ 的 $u^{2} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 8.9.5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$u^{2} = 3$

解题步骤 8.9.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$u = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 8.9.5.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 8.9.5.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$u = \sqrt{3}$

解题步骤 8.9.5.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$u = - \sqrt{3}$

解题步骤 8.9.5.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 8.9.6

最终解为使 $u \cdot (7^{\frac{3}{2}} (u^{2} - 3)) = 0$ 成立的所有值。

$u = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 8.10

代入 $y$ 替换 $u$ 。

$y^{\frac{3}{2}} = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 8.11

对 $y$ 求解 $y^{\frac{3}{2}} = 0$ 。

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解题步骤 8.11.1

将方程两边同时进行 $\frac{2}{3}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 0^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.11.2

化简指数。

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解题步骤 8.11.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.11.2.1.1

化简 ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 8.11.2.1.1.1

将 ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.11.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 0^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.11.2.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.11.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 0^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.11.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.11.2.1.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.11.2.1.1.1.3.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.11.2.1.1.1.3.2

重写表达式。

$y^{1} = 0^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.11.2.1.1.2

化简。

$y = 0^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.11.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.11.2.2.1

化简 $0^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 8.11.2.2.1.1

化简表达式。

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解题步骤 8.11.2.2.1.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$y = {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.11.2.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = 0^{3 (\frac{2}{3})}$

解题步骤 8.11.2.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.11.2.2.1.2.1

约去公因数。

$y = 0^{3 (\frac{2}{3})}$

解题步骤 8.11.2.2.1.2.2

重写表达式。

$y = 0^{2}$

解题步骤 8.11.2.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 8.12

对 $y$ 求解 $y^{\frac{3}{2}} = \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 8.12.1

将方程两边同时进行 $\frac{2}{3}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.12.2

化简指数。

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解题步骤 8.12.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.12.2.1.1

化简 ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 8.12.2.1.1.1

将 ${(y^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.12.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.12.2.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 8.12.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.12.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.12.2.1.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.12.2.1.1.1.3.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.12.2.1.1.1.3.2

重写表达式。

$y^{1} = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.12.2.1.1.2

化简。

$y = {\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.12.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.12.2.2.1

将 ${\sqrt{3}}^{\frac{2}{3}}$ 重写为 $\sqrt[3]{3}$ 。

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解题步骤 8.12.2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = {(3^{\frac{1}{2}})}^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 8.12.2.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = 3^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}}$

解题步骤 8.12.2.2.1.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$y = 3^{\frac{2}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 8.12.2.2.1.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = 3^{\frac{2}{6}}$

解题步骤 8.12.2.2.1.5

约去 $2$ 和 $6$ 的公因数。

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解题步骤 8.12.2.2.1.5.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = 3^{\frac{2 (1)}{6}}$

解题步骤 8.12.2.2.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 8.12.2.2.1.5.2.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = 3^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 8.12.2.2.1.5.2.2

约去公因数。

$y = 3^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}}$

解题步骤 8.12.2.2.1.5.2.3

重写表达式。

$y = 3^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 8.12.2.2.1.6

将 $3^{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\sqrt[3]{3}$ 。

$y = \sqrt[3]{3}$

解题步骤 8.13

列出所有解。

$y = 0, \sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{3}$

解题步骤 8.14

排除不能使 ${(\sqrt{7 y})}^{3} + y^{3} = 21 (\sqrt{7 y}) y$ 成立的解。

$y = 0$

解题步骤 9

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(\sqrt{7 y}, 0)$

$(- \sqrt{7 y}, 0)$

解题步骤 10

微积分学 示例

微积分学示例