微积分学示例

$5 x^{3} = - 3 x y + 2$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (5 x^{3}) = \frac{d}{d x} (- 3 x y + 2)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 (3 x^{2})$

解题步骤 2.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$15 x^{2}$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- 3 x y + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3 x y] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x y]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x y$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$- 3 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.2.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- 3 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.2.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$- 3 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 (x y' + y) + 0$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

运用分配律。

$- 3 (x y') - 3 y + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $- 3 x y' - 3 y$ 和 $0$ 相加。

$- 3 x y' - 3 y$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$15 x^{2} = - 3 x y' - 3 y$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $- 3 x y' - 3 y = 15 x^{2}$ 。

$- 3 x y' - 3 y = 15 x^{2}$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $3 y$ 。

$- 3 x y' = 15 x^{2} + 3 y$

解题步骤 5.3

将 $- 3 x y' = 15 x^{2} + 3 y$ 中的每一项除以 $- 3 x$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 3 x y' = 15 x^{2} + 3 y$ 中的每一项都除以 $- 3 x$ 。

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 x y'}{- 3 x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x y'}{x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x y'}{x} = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{15 x^{2}}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $15$ 和 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $15 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{3 (5 x^{2})}{- 3 x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.2.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = \frac{3 (5 x^{2})}{3 (- x)} + \frac{3 y}{- 3 x}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{3 (5 x^{2})}{3 (- x)} + \frac{3 y}{- 3 x}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{5 x^{2}}{- x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

解题步骤 5.3.3.1.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1

从 $5 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$y' = \frac{x (5 x)}{- x} + \frac{3 y}{- 3 x}$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

移动 $\frac{5 x}{- 1}$ 中分母的负号。

$y' = - 1 \cdot (5 x) + \frac{3 y}{- 3 x}$

解题步骤 5.3.3.1.3

将 $- 1 \cdot (5 x)$ 重写为 $- (5 x)$ 。

$y' = - (5 x) + \frac{3 y}{- 3 x}$

解题步骤 5.3.3.1.4

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$y' = - 5 x + \frac{3 y}{- 3 x}$

解题步骤 5.3.3.1.5

约去 $3$ 和 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.5.1

从 $3 y$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = - 5 x + \frac{3 (y)}{- 3 x}$

解题步骤 5.3.3.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.5.2.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$y' = - 5 x + \frac{3 (y)}{3 (- x)}$

解题步骤 5.3.3.1.5.2.2

约去公因数。

$y' = - 5 x + \frac{3 y}{3 (- x)}$

解题步骤 5.3.3.1.5.2.3

重写表达式。

$y' = - 5 x + \frac{y}{- x}$

解题步骤 5.3.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y' = - 5 x - \frac{y}{x}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - 5 x - \frac{y}{x}$

解题步骤 7

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 7.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x, 1$

解题步骤 7.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 7.2

将 $- 5 x - \frac{y}{x} = 0$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 7.2.1

将 $- 5 x - \frac{y}{x} = 0$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$- 5 x \cdot x - \frac{y}{x} x = 0 x$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$- 5 (x \cdot x) - \frac{y}{x} x = 0 x$

解题步骤 7.2.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 5 x^{2} - \frac{y}{x} x = 0 x$

解题步骤 7.2.2.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.2.1

将 $- \frac{y}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$- 5 x^{2} + \frac{- y}{x} x = 0 x$

解题步骤 7.2.2.1.2.2

约去公因数。

$- 5 x^{2} + \frac{- y}{x} x = 0 x$

解题步骤 7.2.2.1.2.3

重写表达式。

$- 5 x^{2} - y = 0 x$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$- 5 x^{2} - y = 0$

解题步骤 7.3

求解方程。

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解题步骤 7.3.1

在等式两边都加上 $y$ 。

$- 5 x^{2} = y$

解题步骤 7.3.2

将 $- 5 x^{2} = y$ 中的每一项除以 $- 5$ 并化简。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $- 5 x^{2} = y$ 中的每一项都除以 $- 5$ 。

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{y}{- 5}$

解题步骤 7.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.2.1

约去 $- 5$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{y}{- 5}$

解题步骤 7.3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{y}{- 5}$

解题步骤 7.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{y}{5}$

解题步骤 7.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{y}{5}}$

解题步骤 7.3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{- \frac{y}{5}}$

解题步骤 7.3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{- \frac{y}{5}}$

解题步骤 7.3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = - \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = - \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = - \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = \sqrt{- \frac{y}{5}}$

$x = - \sqrt{- \frac{y}{5}}$

解题步骤 8

计算得出的 $x$ 值不能包含虚分量。

$\sqrt{- \frac{y}{5}}$ 不是 x 的有效值

解题步骤 9

计算得出的 $x$ 值不能包含虚分量。

$- \sqrt{- \frac{y}{5}}$ 不是 x 的有效值

解题步骤 10

No points that set $\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

解题步骤 11

微积分学 示例

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