微积分学示例

$\cot (y) = x - y$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (\cot (y)) = \frac{d}{d x} (x - y)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.2

$\cot (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \csc^{2} (u)$ 。

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$- \csc^{2} (y) y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $x - y$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- y]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- y$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [y]$ 。

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 3.2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$1 - y'$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- \csc^{2} (y) y' = 1 - y'$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

将 $- \csc^{2} (y) y'$ 中的因式重新排序。

$- y' \csc^{2} (y) = 1 - y'$

解题步骤 5.2

将所有包含 $y'$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $y'$ 。

$- y' \csc^{2} (y) + y' = 1$

解题步骤 5.2.2

将 $- y' \csc^{2} (y)$ 和 $y'$ 重新排序。

$y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

解题步骤 5.2.3

将 $y'$ 重写为 $1 y'$ 。

$1 y' - y' \csc^{2} (y) = 1$

解题步骤 5.2.4

从 $1 y'$ 中分解出因数 $- y'$ 。

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

解题步骤 5.2.5

从 $- y' \csc^{2} (y)$ 中分解出因数 $- y'$ 。

$- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y) = 1$

解题步骤 5.2.6

从 $- y' \cdot - 1 - y' \csc^{2} (y)$ 中分解出因数 $- y'$ 。

$- y' (- 1 + \csc^{2} (y)) = 1$

解题步骤 5.2.7

重新整理项。

$- y' (\csc^{2} (y) - 1) = 1$

解题步骤 5.2.8

使用勾股恒等式。

$- y' \cot^{2} (y) = 1$

解题步骤 5.3

将 $- y' \cot^{2} (y) = 1$ 中的每一项除以 $- \cot^{2} (y)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- y' \cot^{2} (y) = 1$ 中的每一项都除以 $- \cot^{2} (y)$ 。

$\frac{- y' \cot^{2} (y)}{- \cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $\cot^{2} (y)$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' \cot^{2} (y)}{\cot^{2} (y)} = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{1}{- \cot^{2} (y)}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- \cot^{2} (y)}$

解题步骤 5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{1}{\cot^{2} (y)}$

解题步骤 5.3.3.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y' = - \frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$

解题步骤 5.3.3.3

将 $\frac{1^{2}}{\cot^{2} (y)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$ 。

$y' = - {(\frac{1}{\cot (y)})}^{2}$

解题步骤 5.3.3.4

将 $\cot (y)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y' = - {(\frac{1}{\frac{\cos (y)}{\sin (y)}})}^{2}$

解题步骤 5.3.3.5

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ 。

$y' = - {(\frac{\sin (y)}{\cos (y)})}^{2}$

解题步骤 5.3.3.6

将 $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ 转换成 $\tan (y)$ 。

$y' = - \tan^{2} (y)$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \tan^{2} (y)$

解题步骤 7

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- \tan^{2} (y) = 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.1.1

将 $- \tan^{2} (y) = 0$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan^{2} (y)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 7.1.2

化简左边。

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解题步骤 7.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan^{2} (y)}{1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 7.1.2.2

用 $\tan^{2} (y)$ 除以 $1$ 。

$\tan^{2} (y) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 7.1.3

化简右边。

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解题步骤 7.1.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$\tan^{2} (y) = 0$

解题步骤 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (y) = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 7.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\tan (y) = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 7.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\tan (y) = \pm 0$

解题步骤 7.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$\tan (y) = 0$

解题步骤 7.4

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $y$ 。

$y = \arctan (0)$

解题步骤 7.5

化简右边。

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解题步骤 7.5.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 7.6

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$y = π + 0$

解题步骤 7.7

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$y = π$

解题步骤 7.8

求 $\tan (y)$ 的周期。

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解题步骤 7.8.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 7.8.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 7.8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 7.8.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 7.9

$\tan (y)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$y = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.10

合并答案。

$y = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

化简右边。

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解题步骤 8.1

去掉圆括号。

$\cot (y) = π n - y$

解题步骤 9

Solve for $x$ when $y$ is $π n - y$ .

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解题步骤 9.1

将所有包含 $n$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 9.1.1

从等式两边同时减去 $π n$ 。

$π n - y - π n = 0$

解题步骤 9.1.2

合并 $π n - y - π n$ 中相反的项。

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解题步骤 9.1.2.1

从 $π n$ 中减去 $π n$ 。

$- y + 0 = 0$

解题步骤 9.1.2.2

将 $- y$ 和 $0$ 相加。

$- y = 0$

解题步骤 9.2

将 $- y = 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $- y = 0$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 9.2.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 9.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 9.2.3

化简右边。

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解题步骤 9.2.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$y = 0$

解题步骤 10

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(0, π n - y)$

解题步骤 11

微积分学 示例

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