微积分学示例

$5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2} = 0$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $5 x^{2} - 2 x y + 7 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x y$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ 。

$10 x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = y$ 。

$10 x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

解题步骤 2.3.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$10 x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$10 x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

解题步骤 2.3.5

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$10 x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [7 y^{2}]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [7 y^{2}]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 2.4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.4.2.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

解题步骤 2.4.3

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$10 x - 2 (x y' + y) + 7 (2 y y')$

解题步骤 2.4.4

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$10 x - 2 (x y' + y) + 14 y y'$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$10 x - 2 (x y') - 2 y + 14 y y'$

解题步骤 2.5.2

去掉多余的括号。

$10 x - 2 x y' - 2 y + 14 y y'$

解题步骤 2.5.3

重新排序项。

$- 2 x y' + 14 y y' + 10 x - 2 y$

解题步骤 3

因为 $0$ 对于 $x$ 是常数，所以 $0$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- 2 x y' + 14 y y' + 10 x - 2 y = 0$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

将所有不包含 $y'$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.1.1

从等式两边同时减去 $10 x$ 。

$- 2 x y' + 14 y y' - 2 y = - 10 x$

解题步骤 5.1.2

在等式两边都加上 $2 y$ 。

$- 2 x y' + 14 y y' = - 10 x + 2 y$

解题步骤 5.2

从 $- 2 x y' + 14 y y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 2 x y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- x) + 14 y y' = - 10 x + 2 y$

解题步骤 5.2.2

从 $14 y y'$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- x) + 2 y' (7 y) = - 10 x + 2 y$

解题步骤 5.2.3

从 $2 y' (- x) + 2 y' (7 y)$ 中分解出因数 $2 y'$ 。

$2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$

解题步骤 5.3

将 $2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$ 中的每一项除以 $2 (- x + 7 y)$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $2 y' (- x + 7 y) = - 10 x + 2 y$ 中的每一项都除以 $2 (- x + 7 y)$ 。

$\frac{2 y' (- x + 7 y)}{2 (- x + 7 y)} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y' (- x + 7 y)}{2 (- x + 7 y)} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y' (- x + 7 y)}{- x + 7 y} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $- x + 7 y$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y' (- x + 7 y)}{- x + 7 y} = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 10 x}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去 $- 10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1.2.1

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- 5 x)}{2 (- x + 7 y)} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.1.2.2

重写表达式。

$y' = \frac{- 5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.1

约去公因数。

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{2 y}{2 (- x + 7 y)}$

解题步骤 5.3.3.1.3.2

重写表达式。

$y' = - \frac{5 x}{- x + 7 y} + \frac{y}{- x + 7 y}$

解题步骤 5.3.3.2

化简项。

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解题步骤 5.3.3.2.1

在公分母上合并分子。

$y' = \frac{- 5 x + y}{- x + 7 y}$

解题步骤 5.3.3.2.2

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (5 x) + y}{- x + 7 y}$

解题步骤 5.3.3.2.3

从 $y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (5 x) - 1 (- y)}{- x + 7 y}$

解题步骤 5.3.3.2.4

从 $- (5 x) - 1 (- y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- (5 x - y)}{- x + 7 y}$

解题步骤 5.3.3.2.5

将 $- (5 x - y)$ 重写为 $- 1 (5 x - y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- x + 7 y}$

解题步骤 5.3.3.2.6

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x) + 7 y}$

解题步骤 5.3.3.2.7

从 $7 y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x) - (- 7 y)}$

解题步骤 5.3.3.2.8

从 $- (x) - (- 7 y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- (x - 7 y)}$

解题步骤 5.3.3.2.9

将 $- (x - 7 y)$ 重写为 $- 1 (x - 7 y)$ 。

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- 1 (x - 7 y)}$

解题步骤 5.3.3.2.10

约去公因数。

$y' = \frac{- 1 (5 x - y)}{- 1 (x - 7 y)}$

解题步骤 5.3.3.2.11

重写表达式。

$y' = \frac{5 x - y}{x - 7 y}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x - y}{x - 7 y}$

解题步骤 7

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将分子设为等于零。

$5 x - y = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $y$ 。

$5 x = y$

解题步骤 7.2.2

将 $5 x = y$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $5 x = y$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 x}{5} = \frac{y}{5}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 x}{5} = \frac{y}{5}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{y}{5}$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

化简 $5 {(\frac{y}{5})}^{2} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2}$ 。

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解题步骤 8.1.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1.1

对 $\frac{y}{5}$ 运用乘积法则。

$5 \frac{y^{2}}{5^{2}} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$5 \frac{y^{2}}{25} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.1.3.1

从 $25$ 中分解出因数 $5$ 。

$5 \frac{y^{2}}{5 (5)} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.3.2

约去公因数。

$5 \frac{y^{2}}{5 \cdot 5} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.3.3

重写表达式。

$\frac{y^{2}}{5} - 2 \frac{y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{y}{5}$ 。

$\frac{y^{2}}{5} + \frac{- 2 y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y}{5} \cdot y + 7 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.6

乘以 $- \frac{2 y}{5} y$ 。

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解题步骤 8.1.1.6.1

组合 $y$ 和 $\frac{2 y}{5}$ 。

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{y (2 y)}{5} + 7 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.6.2

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 (y^{1} y)}{5} + 7 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.6.3

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 (y^{1} y^{1})}{5} + 7 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y^{1 + 1}}{5} + 7 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.1.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{y^{2}}{5} - \frac{2 y^{2}}{5} + 7 y^{2} = 0$

解题步骤 8.1.2

化简项。

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解题步骤 8.1.2.1

在公分母上合并分子。

$7 y^{2} + \frac{y^{2} - 2 y^{2}}{5} = 0$

解题步骤 8.1.2.2

从 $y^{2}$ 中减去 $2 y^{2}$ 。

$7 y^{2} + \frac{- y^{2}}{5} = 0$

解题步骤 8.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$7 y^{2} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

解题步骤 8.1.3

要将 $7 y^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$7 y^{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

解题步骤 8.1.4

化简项。

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解题步骤 8.1.4.1

组合 $7 y^{2}$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{7 y^{2} \cdot 5}{5} - \frac{y^{2}}{5} = 0$

解题步骤 8.1.4.2

在公分母上合并分子。

$\frac{7 y^{2} \cdot 5 - y^{2}}{5} = 0$

解题步骤 8.1.5

化简分子。

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解题步骤 8.1.5.1

从 $7 y^{2} \cdot 5 - y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

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解题步骤 8.1.5.1.1

从 $7 y^{2} \cdot 5$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5) - y^{2}}{5} = 0$

解题步骤 8.1.5.1.2

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5) + y^{2} \cdot - 1}{5} = 0$

解题步骤 8.1.5.1.3

从 $y^{2} (7 \cdot 5) + y^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $y^{2}$ 。

$\frac{y^{2} (7 \cdot 5 - 1)}{5} = 0$

解题步骤 8.1.5.2

将 $7$ 乘以 $5$ 。

$\frac{y^{2} (35 - 1)}{5} = 0$

解题步骤 8.1.5.3

从 $35$ 中减去 $1$ 。

$\frac{y^{2} \cdot 34}{5} = 0$

解题步骤 8.1.6

将 $34$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$\frac{34 y^{2}}{5} = 0$

解题步骤 8.2

将分子设为等于零。

$34 y^{2} = 0$

解题步骤 8.3

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 8.3.1

将 $34 y^{2} = 0$ 中的每一项除以 $34$ 并化简。

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解题步骤 8.3.1.1

将 $34 y^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $34$ 。

$\frac{34 y^{2}}{34} = \frac{0}{34}$

解题步骤 8.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.1.2.1

约去 $34$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{34 y^{2}}{34} = \frac{0}{34}$

解题步骤 8.3.1.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{0}{34}$

解题步骤 8.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 8.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $34$ 。

$y^{2} = 0$

解题步骤 8.3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 8.3.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 8.3.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 8.3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = \pm 0$

解题步骤 8.3.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 9

在 $y$ 等于 $0$ 时求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

去掉圆括号。

$x = \frac{0}{5}$

解题步骤 9.2

用 $0$ 除以 $5$ 。

$x = 0$

解题步骤 10

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(0, 0)$

解题步骤 11

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