微积分学示例

$y + \cos (y) = x + 1$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y + \cos (y)) = \frac{d}{d x} (x + 1)$

解题步骤 2

对方程左边求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $y + \cos (y)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ 。

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y' + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (y)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$y' + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$y' - \sin (u) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y' - \sin (y) \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$y' - \sin (y) y'$

解题步骤 2.4

重新排序项。

$- \sin (y) y' + y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 3.4

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$- \sin (y) y' + y' = 1$

解题步骤 5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

将 $- \sin (y) y' + y'$ 中的因式重新排序。

$- y' \sin (y) + y' = 1$

解题步骤 5.2

从 $- y' \sin (y) + y'$ 中分解出因数 $y'$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $- y' \sin (y)$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 1 \sin (y)) + y' = 1$

解题步骤 5.2.2

对 $y'$ 进行 $1$ 次方运算。

$y' (- 1 \sin (y)) + y' = 1$

解题步骤 5.2.3

从 ${y'}^{1}$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 1 \sin (y)) + y' \cdot 1 = 1$

解题步骤 5.2.4

从 $y' (- 1 \sin (y)) + y' \cdot 1$ 中分解出因数 $y'$ 。

$y' (- 1 \sin (y) + 1) = 1$

解题步骤 5.3

将 $- 1 \sin (y)$ 重写为 $- \sin (y)$ 。

$y' (- \sin (y) + 1) = 1$

解题步骤 5.4

将 $y' (- \sin (y) + 1) = 1$ 中的每一项除以 $- \sin (y) + 1$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $y' (- \sin (y) + 1) = 1$ 中的每一项都除以 $- \sin (y) + 1$ 。

$\frac{y' (- \sin (y) + 1)}{- \sin (y) + 1} = \frac{1}{- \sin (y) + 1}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $- \sin (y) + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y' (- \sin (y) + 1)}{- \sin (y) + 1} = \frac{1}{- \sin (y) + 1}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{1}{- \sin (y) + 1}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

从 $- \sin (y)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{1}{- (\sin (y)) + 1}$

解题步骤 5.4.3.2

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$y' = \frac{1}{- (\sin (y)) - 1 (- 1)}$

解题步骤 5.4.3.3

从 $- (\sin (y)) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$y' = \frac{1}{- (\sin (y) - 1)}$

解题步骤 5.4.3.4

重写负数。

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解题步骤 5.4.3.4.1

将 $- (\sin (y) - 1)$ 重写为 $- 1 (\sin (y) - 1)$ 。

$y' = \frac{1}{- 1 (\sin (y) - 1)}$

解题步骤 5.4.3.4.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{1}{\sin (y) - 1}$

解题步骤 6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{\sin (y) - 1}$

解题步骤 7

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 7.2

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 8

No points that set $\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

解题步骤 9

微积分学 示例

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