微积分学示例

$y = | x^{2} - 9 |$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (| x^{2} - 9 |)$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = x^{2} - 9$ 。

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解题步骤 3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 9$ 。

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

解题步骤 3.1.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

解题步骤 3.1.3

使用 $x^{2} - 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

解题步骤 3.2

求微分。

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解题步骤 3.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ 。

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

解题步骤 3.2.3

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x + 0)$

解题步骤 3.2.4

合并分数。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |} (2 x)$

解题步骤 3.2.4.2

组合 $2$ 和 $\frac{x^{2} - 9}{| x^{2} - 9 |}$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |} x$

解题步骤 3.2.4.3

组合 $\frac{2 (x^{2} - 9)}{| x^{2} - 9 |}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 9) x}{| x^{2} - 9 |}$

解题步骤 3.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

解题步骤 3.3.3

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

解题步骤 3.3.3.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

解题步骤 3.3.3.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 9 x}{| x^{2} - 9 |}$

解题步骤 3.3.3.2

将 $2$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |}$

解题步骤 6

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将分子设为等于零。

$2 x^{3} - 18 x = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $2 x^{3} - 18 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (x^{2}) - 18 x = 0$

解题步骤 6.2.1.1.2

从 $- 18 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (x^{2}) + 2 x (- 9) = 0$

解题步骤 6.2.1.1.3

从 $2 x (x^{2}) + 2 x (- 9)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$2 x (x^{2} - 9) = 0$

解题步骤 6.2.1.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$2 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

解题步骤 6.2.1.3

因数。

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解题步骤 6.2.1.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$2 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

解题步骤 6.2.1.3.2

去掉多余的括号。

$2 x (x + 3) (x - 3) = 0$

解题步骤 6.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 6.2.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.2.4

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 6.2.4.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 6.2.5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 6.2.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 6.2.6

最终解为使 $2 x (x + 3) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 3, 3$

解题步骤 6.3

排除不能使 $\frac{2 x^{3} - 18 x}{| x^{2} - 9 |} = 0$ 成立的解。

$x = 0$

解题步骤 7

化简 $| {(0)}^{2} - 9 |$ 。

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解题步骤 7.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = | 0 - 9 |$

解题步骤 7.2

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$y = | - 9 |$

解题步骤 7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 9$ 和 $0$ 之间的距离为 $9$ 。

$y = 9$

解题步骤 8

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(0, 9)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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