微积分学示例

$y = 2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 + 48 x^{2} + 32 x^{4})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $2 + 48 x^{2} + 32 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

解题步骤 3.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $48 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$0 + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $48$ 。

$0 + 96 x + \frac{d}{d x} [32 x^{4}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [32 x^{4}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $32 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$0 + 96 x + 32 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$0 + 96 x + 32 (4 x^{3})$

解题步骤 3.3.3

将 $4$ 乘以 $32$ 。

$0 + 96 x + 128 x^{3}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $0$ 和 $96 x$ 相加。

$96 x + 128 x^{3}$

解题步骤 3.4.2

重新排序项。

$128 x^{3} + 96 x$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 128 x^{3} + 96 x$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 128 x^{3} + 96 x$

解题步骤 6

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

从 $128 x^{3} + 96 x$ 中分解出因数 $32 x$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $128 x^{3}$ 中分解出因数 $32 x$ 。

$32 x (4 x^{2}) + 96 x = 0$

解题步骤 6.1.2

从 $96 x$ 中分解出因数 $32 x$ 。

$32 x (4 x^{2}) + 32 x (3) = 0$

解题步骤 6.1.3

从 $32 x (4 x^{2}) + 32 x (3)$ 中分解出因数 $32 x$ 。

$32 x (4 x^{2} + 3) = 0$

解题步骤 6.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$4 x^{2} + 3 = 0$

解题步骤 6.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 6.4

将 $4 x^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $4 x^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 。

$4 x^{2} + 3 = 0$

解题步骤 6.4.2

求解 $x$ 的 $4 x^{2} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 6.4.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$4 x^{2} = - 3$

解题步骤 6.4.2.2

将 $4 x^{2} = - 3$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 6.4.2.2.1

将 $4 x^{2} = - 3$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 6.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.4.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 6.4.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 6.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{3}{4}$

解题步骤 6.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$

解题步骤 6.4.2.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{3}{4}}$ 。

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解题步骤 6.4.2.4.1

将 $- \frac{3}{4}$ 重写为 ${(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.4.2.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{4}}$

解题步骤 6.4.2.4.1.2

从 $3$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{4}}$

解题步骤 6.4.2.4.1.3

从 $4$ 中因式分解出完全幂数 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}}$

解题步骤 6.4.2.4.1.4

重新整理分数 $\frac{1^{2} \cdot 3}{2^{2} \cdot 1}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} \cdot 3)}$

解题步骤 6.4.2.4.1.5

将 $i^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$ 重写为 ${(\frac{i}{2})}^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2} \cdot 3}$

解题步骤 6.4.2.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{i}{2} \sqrt{3}$

解题步骤 6.4.2.4.3

组合 $\frac{i}{2}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6.4.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.4.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6.4.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6.4.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 6.5

最终解为使 $32 x (4 x^{2} + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \frac{i \sqrt{3}}{2}, - \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7

求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

去掉圆括号。

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 {(0)}^{4}$

解题步骤 7.2

去掉圆括号。

$y = 2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$

解题步骤 7.3

化简 $2 + 48 \cdot 0^{2} + 32 \cdot 0^{4}$ 。

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解题步骤 7.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 2 + 48 \cdot 0 + 32 \cdot 0^{4}$

解题步骤 7.3.1.2

将 $48$ 乘以 $0$ 。

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0^{4}$

解题步骤 7.3.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 2 + 0 + 32 \cdot 0$

解题步骤 7.3.1.4

将 $32$ 乘以 $0$ 。

$y = 2 + 0 + 0$

解题步骤 7.3.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 7.3.2.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$y = 2 + 0$

解题步骤 7.3.2.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$y = 2$

解题步骤 8

计算得出的 $x$ 值不能包含虚分量。

$\frac{i \sqrt{3}}{2}$ 不是 x 的有效值

解题步骤 9

计算得出的 $x$ 值不能包含虚分量。

$- \frac{i \sqrt{3}}{2}$ 不是 x 的有效值

解题步骤 10

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(0, 2)$

解题步骤 11

微积分学 示例

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