微积分学示例

$y = 2 x^{2} + 5$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 5)$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $2 x^{2} + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 3.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x + 0$

解题步骤 3.3.2

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 4 x$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 4 x$

解题步骤 6

将 $4 x = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 6.1

将 $4 x = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 6.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 6.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{4}$

解题步骤 6.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

去掉圆括号。

$y = 2 \cdot 0^{2} + 5$

解题步骤 7.2

化简 $2 \cdot 0^{2} + 5$ 。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 2 \cdot 0 + 5$

解题步骤 7.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 5$

解题步骤 7.2.2

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$y = 5$

解题步骤 8

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(0, 5)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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