微积分学示例

$y = 12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8)$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $12 x^{3} - 27 x^{2} - 36 x + 8$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.2.3

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 27 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$36 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$36 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $- 27$ 。

$36 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$36 x^{2} - 54 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$36 x^{2} - 54 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.4.3

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$36 x^{2} - 54 x - 36 + \frac{d}{d x} [8]$

解题步骤 3.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.5.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$36 x^{2} - 54 x - 36 + 0$

解题步骤 3.5.2

将 $36 x^{2} - 54 x - 36$ 和 $0$ 相加。

$36 x^{2} - 54 x - 36$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 36 x^{2} - 54 x - 36$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{2} - 54 x - 36$

解题步骤 6

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.1.1

从 $36 x^{2} - 54 x - 36$ 中分解出因数 $18$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

从 $36 x^{2}$ 中分解出因数 $18$ 。

$18 (2 x^{2}) - 54 x - 36 = 0$

解题步骤 6.1.1.2

从 $- 54 x$ 中分解出因数 $18$ 。

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) - 36 = 0$

解题步骤 6.1.1.3

从 $- 36$ 中分解出因数 $18$ 。

$18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x) + 18 (- 2) = 0$

解题步骤 6.1.1.4

从 $18 (2 x^{2}) + 18 (- 3 x)$ 中分解出因数 $18$ 。

$18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2) = 0$

解题步骤 6.1.1.5

从 $18 (2 x^{2} - 3 x) + 18 (- 2)$ 中分解出因数 $18$ 。

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

解题步骤 6.1.2

因数。

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解题步骤 6.1.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 6.1.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ 并且它们的和为 $b = - 3$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.1.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$18 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

解题步骤 6.1.2.1.1.2

把 $- 3$ 重写为 $1$ 加 $- 4$

$18 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

解题步骤 6.1.2.1.1.3

运用分配律。

$18 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

解题步骤 6.1.2.1.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$18 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

解题步骤 6.1.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.1.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$18 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

解题步骤 6.1.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$18 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

解题步骤 6.1.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x + 1$ 来因式分解多项式。

$18 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

解题步骤 6.1.2.2

去掉多余的括号。

$18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

解题步骤 6.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 6.3

将 $2 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $2 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x + 1 = 0$

解题步骤 6.3.2

求解 $x$ 的 $2 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x = - 1$

解题步骤 6.3.2.2

将 $2 x = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 6.3.2.2.1

将 $2 x = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 6.4

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 6.4.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 6.5

最终解为使 $18 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{2}, 2$

解题步骤 7

化简 $12 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$ 。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.1.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$y = 12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$y = 12 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = 12 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.3

一的任意次幂都为一。

$y = 12 (- \frac{1}{2^{3}}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = 12 (- \frac{1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.5.1

将 $- \frac{1}{8}$ 中前置负号移到分子中。

$y = 12 (\frac{- 1}{8}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.5.2

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = 4 (3) \frac{- 1}{8} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.5.3

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.5.4

约去公因数。

$y = 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4 \cdot 2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.5.5

重写表达式。

$y = 3 (\frac{- 1}{2}) - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.6

组合 $3$ 和 $\frac{- 1}{2}$ 。

$y = \frac{3 \cdot - 1}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.7

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- 3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.8

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{3}{2} - 27 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.9

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 7.1.9.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.9.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$y = - \frac{3}{2} - 27 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.10

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - \frac{3}{2} - 27 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.11

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.12

一的任意次幂都为一。

$y = - \frac{3}{2} - 27 \frac{1}{2^{2}} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.13

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - \frac{3}{2} - 27 (\frac{1}{4}) - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.14

组合 $- 27$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$y = - \frac{3}{2} + \frac{- 27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.15

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (- \frac{1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.16

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.16.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 36 (\frac{- 1}{2}) + 8$

解题步骤 7.1.16.2

从 $- 36$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 (- 18) \frac{- 1}{2} + 8$

解题步骤 7.1.16.3

约去公因数。

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 18 \frac{- 1}{2} + 8$

解题步骤 7.1.16.4

重写表达式。

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} - 18 \cdot - 1 + 8$

解题步骤 7.1.17

将 $- 18$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{3}{2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

解题步骤 7.2

求公分母。

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解题步骤 7.2.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - (\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}) - \frac{27}{4} + 18 + 8$

解题步骤 7.2.2

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + 18 + 8$

解题步骤 7.2.3

将 $18$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} + 8$

解题步骤 7.2.4

将 $\frac{18}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + 8$

解题步骤 7.2.5

将 $\frac{18}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + 8$

解题步骤 7.2.6

将 $8$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1}$

解题步骤 7.2.7

将 $\frac{8}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8}{1} \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 7.2.8

将 $\frac{8}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.2.9

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{27}{4} + \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{8 \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- 3 \cdot 2 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.4

化简每一项。

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解题步骤 7.4.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{- 6 - 27 + 18 \cdot 4 + 8 \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.4.2

将 $18$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 8 \cdot 4}{4}$

解题步骤 7.4.3

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{- 6 - 27 + 72 + 32}{4}$

解题步骤 7.5

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.5.1

从 $- 6$ 中减去 $27$ 。

$y = \frac{- 33 + 72 + 32}{4}$

解题步骤 7.5.2

将 $- 33$ 和 $72$ 相加。

$y = \frac{39 + 32}{4}$

解题步骤 7.5.3

将 $39$ 和 $32$ 相加。

$y = \frac{71}{4}$

解题步骤 8

求解 $y$ 。

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解题步骤 8.1

去掉圆括号。

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

解题步骤 8.2

去掉圆括号。

$y = 12 \cdot 2^{3} - 27 \cdot 2^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

解题步骤 8.3

去掉圆括号。

$y = 12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

解题步骤 8.4

化简 $12 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$ 。

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解题步骤 8.4.1

化简每一项。

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解题步骤 8.4.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = 12 \cdot 8 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

解题步骤 8.4.1.2

将 $12$ 乘以 $8$ 。

$y = 96 - 27 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2 + 8$

解题步骤 8.4.1.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = 96 - 27 \cdot 4 - 36 \cdot 2 + 8$

解题步骤 8.4.1.4

将 $- 27$ 乘以 $4$ 。

$y = 96 - 108 - 36 \cdot 2 + 8$

解题步骤 8.4.1.5

将 $- 36$ 乘以 $2$ 。

$y = 96 - 108 - 72 + 8$

解题步骤 8.4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 8.4.2.1

从 $96$ 中减去 $108$ 。

$y = - 12 - 72 + 8$

解题步骤 8.4.2.2

从 $- 12$ 中减去 $72$ 。

$y = - 84 + 8$

解题步骤 8.4.2.3

将 $- 84$ 和 $8$ 相加。

$y = - 76$

解题步骤 9

求使 $\frac{d y}{d x} = 0$ 成立的点。

$(- \frac{1}{2}, \frac{71}{4})$

$(2, - 76)$

解题步骤 10

微积分学 示例

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