微积分学示例

$y = 9 x - 3 x^{2} + x^{3}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (9 x - 3 x^{2} + x^{3})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $9 x - 3 x^{2} + x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [9 x]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.2.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$9 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$9 - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$9 - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.3.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$9 - 6 x + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.4.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$9 - 6 x + 3 x^{2}$

解题步骤 3.4.2

重新排序项。

$3 x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = 3 x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 6

建立 $\frac{d y}{d x} = 0$ 然后对 $y$ 求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

从 $3 x^{2} - 6 x + 9$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) - 6 x + 9 = 0$

解题步骤 6.1.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 9 = 0$

解题步骤 6.1.3

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

解题步骤 6.1.4

从 $3 x^{2} + 3 (- 2 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3 = 0$

解题步骤 6.1.5

从 $3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$

解题步骤 6.2

将 $3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $3 (x^{2} - 2 x + 3) = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 (x^{2} - 2 x + 3)}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 6.2.2.1.2

用 $x^{2} - 2 x + 3$ 除以 $1$ 。

$x^{2} - 2 x + 3 = \frac{0}{3}$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x^{2} - 2 x + 3 = 0$

解题步骤 6.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6.4

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 3$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5

化简。

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解题步骤 6.5.1

化简分子。

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解题步骤 6.5.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.3

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.4

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (8)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.7

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.5.1.7.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.5.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

解题步骤 6.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 6.6.1

化简分子。

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解题步骤 6.6.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.3

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.4

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (8)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.7

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.6.1.7.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.6.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

解题步骤 6.6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = 1 + i \sqrt{2}$

解题步骤 6.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 6.7.1

化简分子。

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解题步骤 6.7.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.3

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.4

将 $- 8$ 重写为 $- 1 (8)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.5

将 $\sqrt{- 1 (8)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.7

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.7.1.7.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.7.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 6.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 6.7.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ 。

$x = 1 \pm i \sqrt{2}$

解题步骤 6.7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = 1 - i \sqrt{2}$

解题步骤 6.8

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + i \sqrt{2}, 1 - i \sqrt{2}$

解题步骤 7

计算得出的 $x$ 值不能包含虚分量。

$1 + i \sqrt{2}$ 不是 x 的有效值

解题步骤 8

计算得出的 $x$ 值不能包含虚分量。

$1 - i \sqrt{2}$ 不是 x 的有效值

解题步骤 9

No points that set $\frac{d y}{d x} = 0$ are on the real number plane.

No Points

解题步骤 10

微积分学 示例

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