微积分学示例

$f (x) = 12 x^{2} + 8 x$ , $x = 9$

解题步骤 1

思考一下可用于求在 $a$ 处线性化的函数。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

解题步骤 2

将 $a = 9$ 的值代入线性函数中。

$L (x) = f (9) + f' (9) (x - 9)$

解题步骤 3

计算 $f (9)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $9$ 替换变量 $x$ 。

$f (9) = 12 {(9)}^{2} + 8 (9)$

解题步骤 3.2

化简 $12 {(9)}^{2} + 8 (9)$ 。

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解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

$12 {(9)}^{2} + 8 (9)$

解题步骤 3.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \cdot 81 + 8 (9)$

解题步骤 3.2.2.2

将 $12$ 乘以 $81$ 。

$972 + 8 (9)$

解题步骤 3.2.2.3

将 $8$ 乘以 $9$ 。

$972 + 72$

解题步骤 3.2.3

将 $972$ 和 $72$ 相加。

$1044$

解题步骤 4

求导数，并计算其在 $9$ 处的值。

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解题步骤 4.1

求 $f (x) = 12 x^{2} + 8 x$ 的导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $12 x^{2} + 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$24 x + \frac{d}{d x} [8 x]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$24 x + 8 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$24 x + 8 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$24 x + 8$

解题步骤 4.2

使用表达式中的 $9$ 替换变量 $x$ 。

$24 (9) + 8$

解题步骤 4.3

化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $24$ 乘以 $9$ 。

$216 + 8$

解题步骤 4.3.2

将 $216$ 和 $8$ 相加。

$224$

解题步骤 5

将分量代入线性方程中以求在 $a$ 处的线性化。

$L (x) = 1044 + 224 (x - 9)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$L (x) = 1044 + 224 x + 224 \cdot - 9$

解题步骤 6.1.2

将 $224$ 乘以 $- 9$ 。

$L (x) = 1044 + 224 x - 2016$

解题步骤 6.2

从 $1044$ 中减去 $2016$ 。

$L (x) = 224 x - 972$

解题步骤 7

微积分学 示例

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