微积分学示例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ , $a = 2$

解题步骤 1

思考一下可用于求在 $a$ 处线性化的函数。

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

解题步骤 2

将 $a = 2$ 的值代入线性函数中。

$L (x) = f (2) + f' (2) (x - 2)$

解题步骤 3

计算 $f (2)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

解题步骤 3.2

化简 $\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$ 。

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解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

$\sqrt{{(2)}^{2} + 21}$

解题步骤 3.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{4 + 21}$

解题步骤 3.2.3

将 $4$ 和 $21$ 相加。

$\sqrt{25}$

解题步骤 3.2.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\sqrt{5^{2}}$

解题步骤 3.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$5$

解题步骤 4

求导数，并计算其在 $2$ 处的值。

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解题步骤 4.1

求 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 21}$ 的导数。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 21}$ 重写成 ${(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = x^{2} + 21$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 21$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $x^{2} + 21$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

解题步骤 4.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

解题步骤 4.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

解题步骤 4.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

解题步骤 4.1.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

解题步骤 4.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

解题步骤 4.1.7

合并分数。

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解题步骤 4.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

解题步骤 4.1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

解题步骤 4.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 21)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 21]$

解题步骤 4.1.8

根据加法法则， $x^{2} + 21$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21]$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [21])$

解题步骤 4.1.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [21])$

解题步骤 4.1.10

因为 $21$ 对于 $x$ 是常数，所以 $21$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

解题步骤 4.1.11

化简项。

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解题步骤 4.1.11.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

解题步骤 4.1.11.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 4.1.11.3

组合 $\frac{2}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.11.4

约去公因数。

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.11.5

重写表达式。

$\frac{x}{{(x^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$\frac{2}{{({(2)}^{2} + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3

化简分母。

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解题步骤 4.3.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2}{{(4 + 21)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3.2

将 $4$ 和 $21$ 相加。

$\frac{2}{25^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3.3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{2}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 4.3.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.5.1

约去公因数。

$\frac{2}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

解题步骤 4.3.5.2

重写表达式。

$\frac{2}{5^{1}}$

解题步骤 4.3.6

计算指数。

$\frac{2}{5}$

解题步骤 5

将分量代入线性方程中以求在 $a$ 处的线性化。

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} (x - 2)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$L (x) = 5 + \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} \cdot - 2$

解题步骤 6.1.2

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $x$ 。

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2}{5} \cdot - 2$

解题步骤 6.1.3

乘以 $\frac{2}{5} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 6.1.3.1

组合 $\frac{2}{5}$ 和 $- 2$ 。

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{2 \cdot - 2}{5}$

解题步骤 6.1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} + \frac{- 4}{5}$

解题步骤 6.1.4

将负号移到分数的前面。

$L (x) = 5 + \frac{2 x}{5} - \frac{4}{5}$

解题步骤 6.2

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$L (x) = \frac{2 x}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

解题步骤 6.3

组合 $5$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

解题步骤 6.4

在公分母上合并分子。

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{5 \cdot 5 - 4}{5}$

解题步骤 6.5

化简分子。

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解题步骤 6.5.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{25 - 4}{5}$

解题步骤 6.5.2

从 $25$ 中减去 $4$ 。

$L (x) = \frac{2 x}{5} + \frac{21}{5}$

解题步骤 7

微积分学 示例

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