微积分学示例

$f (x) = 1 - x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $1 - x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.1.1.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 1.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.2.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 1.1.2.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 1.1.2.7

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 1.1.2.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f' (x) = 0 - \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.2.9

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = 0 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.3

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f' (x) = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 2.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 2.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 4

求导数无意义的位置。

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解题步骤 4.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

解题步骤 4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.2.2.1

化简 ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1.1

对 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 x^{2} = 0^{3}$

解题步骤 4.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 x^{2} = 0$

解题步骤 4.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.3.1

将 $27 x^{2} = 0$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 4.3.3.1.1

将 $27 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 4.3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 4.3.3.1.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 4.3.3.1.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{27}$

解题步骤 4.3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $27$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 4.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 4.3.3.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 4.3.3.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.3.3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 4.3.3.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5

求出让导数 $f' (x) = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 等于 $0$ 或无定义的点后，用来检验 $f (x) = 1 - x^{\frac{1}{3}}$ 在何处增加和在何处减少的区间即为 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 6

将区间 $(- \infty, 0)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简分母。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 6.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

解题步骤 6.2.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.3.1

约去公因数。

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

解题步骤 6.2.1.3.2

重写表达式。

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 6.2.1.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 1) = - \frac{1}{3 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (- 1) = - \frac{1}{3}$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 6.3

在 $x = - 1$ 处，导数为 $- \frac{1}{3}$ 。由于其值为负，函数在 $(- \infty, 0)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(- \infty, 0)$ 上递减

解题步骤 7

将区间 $(0, \infty)$ 中的一个值代入导数以判断函数是递增还是递减。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = - \frac{1}{3 {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

一的任意次幂都为一。

$f' (1) = - \frac{1}{3 \cdot 1}$

解题步骤 7.2.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (1) = - \frac{1}{3}$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- \frac{1}{3}$ 。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 7.3

在 $x = 1$ 处，导数为 $- \frac{1}{3}$ 。由于其值为负，函数在 $(0, \infty)$ 上递减。

因为 $f' (x) < 0$ ，所以在 $(0, \infty)$ 上递减

解题步骤 8

列出函数在其上递增与递减的区间。

递减于： $(- \infty, 0), (0, \infty)$

解题步骤 9

微积分学 示例

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