微积分学示例

$\frac{| x |}{x + 1}$

解题步骤 1

求绝对值的顶点。在本例中， $y = \frac{| x |}{x + 1}$ 的顶点是 $(0, 0)$ 。

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解题步骤 1.1

要求顶点的 $x$ 坐标，请将绝对值 $x$ 的内部设为等于 $0$ 。在本例中，即 $x = 0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$y = \frac{| 0 |}{(0) + 1}$

解题步骤 1.3

化简 $\frac{| 0 |}{(0) + 1}$ 。

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解题步骤 1.3.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$y = \frac{0}{0 + 1}$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$y = \frac{0}{1}$

解题步骤 1.3.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.4

绝对值顶点为 $(0, 0)$ 。

$(0, 0)$

解题步骤 2

求 $y = \frac{| x |}{x + 1}$ 的定义域，以便挑出一组 $x$ 值来求点列表，这样有助于我们画出绝对值函数的图像。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{| x |}{x + 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 1}$

区间计数法：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

集合符号：

${x | x \neq - 1}$

解题步骤 3

对于每一个 $x$ 值，都有一个 $y$ 值。从定义域中选择几个 $x$ 值。选择绝对值顶点附近的 $x$ 值将更加有用。

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解题步骤 3.1

将 $x$ 的值 $- 2$ 代入 $f (x) = \frac{| x |}{x + 1}$ 。在本例中，该点为 $(- 2, - 2)$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = \frac{| - 2 |}{(- 2) + 1}$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 2$ 和 $0$ 之间的距离为 $2$ 。

$f (- 2) = \frac{2}{- 2 + 1}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$f (- 2) = \frac{2}{- 1}$

解题步骤 3.1.2.3

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$f (- 2) = - 2$

解题步骤 3.1.2.4

最终答案为 $- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 3.2

将 $x$ 的值 $1$ 代入 $f (x) = \frac{| x |}{x + 1}$ 。在本例中，该点为 $(1, \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{| 1 |}{(1) + 1}$

解题步骤 3.2.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.2.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (1) = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.2.3

最终答案为 $\frac{1}{2}$ 。

$y = \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = \frac{| x |}{x + 1}$ 。在本例中，该点为 $(2, \frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{| 2 |}{(2) + 1}$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$f (2) = \frac{2}{2 + 1}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f (2) = \frac{2}{3}$

解题步骤 3.3.2.3

最终答案为 $\frac{2}{3}$ 。

$y = \frac{2}{3}$

解题步骤 3.4

可以利用顶点附近的点 $(0, 0), (- 2, - 2), (1, 0.5), (2, 0.67)$ 画出绝对值的图像

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - 2 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.5 \\ 2 & 0.67 \end{array}$

解题步骤 4

微积分学 示例

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