微积分学示例

$\sin (2 x)$

解题步骤 1

求导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 1.2

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 1.2.3

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\cos (2 x) \cdot 2$

解题步骤 1.2.3.2

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$2 \cos (2 x)$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $2 \cos (2 x) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $2 \cos (2 x) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

将 $2 \cos (2 x) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.1.2.1.2

用 $\cos (2 x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

解题步骤 2.1.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$\cos (2 x) = 0$

解题步骤 2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$2 x = \arccos (0)$

解题步骤 2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$2 x = \frac{π}{2}$

解题步骤 2.4

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $2 x = \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

解题步骤 2.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.3.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.3.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.4.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.6

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.6.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 2.6.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 2.6.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 2.6.1.5

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 2.6.2

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.1

将 $2 x = \frac{3 π}{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 2.6.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 2.6.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

解题步骤 2.6.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.6.2.3.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.6.2.3.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 2.6.2.3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 2.7

求 $\cos (2 x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.7.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.7.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.7.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 2.7.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.8

$\cos (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.9

合并答案。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求在 $x = \frac{π}{4}$ 处的原函数 $f (x) = \sin (2 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{4}))$

解题步骤 3.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

解题步骤 3.2.1.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 3.2.1.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 3.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 1$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4

求在 $x = \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$ 处的原函数 $f (x) = \sin (2 x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}))$

解题步骤 4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

要将 $\frac{π}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}))$

解题步骤 4.2.2

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 4.2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}))$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π + π \cdot 2}{4}))$

解题步骤 4.2.4

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{π + 2 \cdot π}{4}))$

解题步骤 4.2.4.2

将 $π$ 和 $2 π$ 相加。

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{4}))$

解题步骤 4.2.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 (2)}))$

解题步骤 4.2.5.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (2 (\frac{3 π}{2 \cdot 2}))$

解题步骤 4.2.5.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 4.2.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 4.2.7

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - 1 \cdot 1$

解题步骤 4.2.8

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{4} + \frac{π}{2}) = - 1$

解题步骤 4.2.9

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 5

函数 $f (x) = \sin (2 x)$ 的水平切线为 $y = 1, y = - 1$ 。

$y = 1, y = - 1$

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例