微积分学示例

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x + 7$

解题步骤 1

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

解题步骤 2

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{3}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 3.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 3.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 3.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 3.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 3.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} - 2 + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $x^{2} - 2$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} - 2$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{2} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 4.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$x^{2} = 2$

解题步骤 4.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 4.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 4.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 5

求在 $x = \sqrt{2}$ 处的原函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{2}) = \frac{{(\sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.1.1

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

解题步骤 5.2.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{8}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

解题步骤 5.2.1.3

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.2.1.3.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{4 (2)}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

解题步骤 5.2.1.3.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

解题步骤 5.2.1.4

从根式下提出各项。

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} + 7$

解题步骤 5.2.2

要将 $- 2 \sqrt{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

解题步骤 5.2.3

合并分数。

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解题步骤 5.2.3.1

组合 $- 2 \sqrt{2}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{- 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

解题步骤 5.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

解题步骤 5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.1.1

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$f (\sqrt{2}) = \frac{2 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

解题步骤 5.2.4.1.2

从 $2 \sqrt{2}$ 中减去 $6 \sqrt{2}$ 。

$f (\sqrt{2}) = \frac{- 4 \sqrt{2}}{3} + 7$

解题步骤 5.2.4.2

将负号移到分数的前面。

$f (\sqrt{2}) = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

解题步骤 5.2.5

最终答案为 $- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ 。

$- \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

解题步骤 6

求在 $x = - \sqrt{2}$ 处的原函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ 。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1.1

对 $- \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

解题步骤 6.2.1.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

解题步骤 6.2.1.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

解题步骤 6.2.1.1.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{8}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

解题步骤 6.2.1.1.5

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.5.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{4 (2)}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

解题步骤 6.2.1.1.5.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

解题步骤 6.2.1.1.6

从根式下提出各项。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 1 \cdot (2 \sqrt{2})}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

解题步骤 6.2.1.1.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

解题步骤 6.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} - 2 (- \sqrt{2}) + 7$

解题步骤 6.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} + 7$

解题步骤 6.2.2

要将 $2 \sqrt{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + 2 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} + 7$

解题步骤 6.2.3

合并分数。

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解题步骤 6.2.3.1

组合 $2 \sqrt{2}$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f (- \sqrt{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3} + \frac{2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

解题步骤 6.2.3.2

在公分母上合并分子。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} \cdot 3}{3} + 7$

解题步骤 6.2.4

化简分子。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{- 2 \sqrt{2} + 6 \sqrt{2}}{3} + 7$

解题步骤 6.2.4.2

将 $- 2 \sqrt{2}$ 和 $6 \sqrt{2}$ 相加。

$f (- \sqrt{2}) = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

解题步骤 6.2.5

最终答案为 $\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ 。

$\frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

解题步骤 7

函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x + 7$ 上的水平切线是 $y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$ 。

$y = - \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7, y = \frac{4 \sqrt{2}}{3} + 7$

解题步骤 8

微积分学 示例

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