微积分学示例

$y = \frac{1}{2} x^{2} + 7 x$

解题步骤 1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$y = \frac{x^{2}}{2} + 7 x$

解题步骤 2

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 7 x$

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\frac{x^{2}}{2} + 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 3.2.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 3.2.4

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 3.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.5.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 3.2.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x + \frac{d}{d x} [7 x]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [7 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x + 7 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x + 7 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$x + 7$

解题步骤 4

从等式两边同时减去 $7$ 。

$x = - 7$

解题步骤 5

求在 $x = - 7$ 处的原函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 7 x$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 7$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 7) = \frac{{(- 7)}^{2}}{2} + 7 (- 7)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 7) = \frac{49}{2} + 7 (- 7)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $7$ 乘以 $- 7$ 。

$f (- 7) = \frac{49}{2} - 49$

解题步骤 5.2.2

要将 $- 49$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 7) = \frac{49}{2} - 49 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 5.2.3

组合 $- 49$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- 7) = \frac{49}{2} + \frac{- 49 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- 7) = \frac{49 - 49 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.5

化简分子。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $- 49$ 乘以 $2$ 。

$f (- 7) = \frac{49 - 98}{2}$

解题步骤 5.2.5.2

从 $49$ 中减去 $98$ 。

$f (- 7) = \frac{- 49}{2}$

解题步骤 5.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (- 7) = - \frac{49}{2}$

解题步骤 5.2.7

最终答案为 $- \frac{49}{2}$ 。

$- \frac{49}{2}$

解题步骤 6

函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 7 x$ 的水平切线为 $y = - \frac{49}{2}$ 。

$y = - \frac{49}{2}$

解题步骤 7

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