微积分学示例

$y = x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 8 x + 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 8 x + 1 + 0$

解题步骤 2.3.3

将 $3 x^{2} - 8 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 8 x + 1$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 8 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.2

将 $a = 3$ 、 $b = - 8$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.1.3

从 $64$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.1.4

将 $52$ 重写为 $2^{2} \cdot 13$ 。

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解题步骤 3.3.1.4.1

从 $52$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 3.3.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 3.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.4.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.4.1.3

从 $64$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.4.1.4

将 $52$ 重写为 $2^{2} \cdot 13$ 。

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解题步骤 3.4.1.4.1

从 $52$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 3.4.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 3.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{4 + \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 3.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.1.3

从 $64$ 中减去 $12$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.1.4

将 $52$ 重写为 $2^{2} \cdot 13$ 。

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解题步骤 3.5.1.4.1

从 $52$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$

解题步骤 3.5.3

化简 $\frac{8 \pm 2 \sqrt{13}}{6}$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 3.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{4 - \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 3.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{4 + \sqrt{13}}{3}, \frac{4 - \sqrt{13}}{3}$

解题步骤 4

求在 $x = \frac{4 + \sqrt{13}}{3}$ 处的原函数 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{4 + \sqrt{13}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

去掉圆括号。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 4.2.2

求公分母。

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解题步骤 4.2.2.1

将 ${(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3}$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 4.2.2.2

将 $\frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1} \cdot \frac{3}{3} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 4.2.2.3

将 $\frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 4.2.2.4

将 $- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2}$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 4.2.2.5

将 $\frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 4.2.2.6

将 $\frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 4.2.2.7

将 $2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + \frac{2}{1}$

解题步骤 4.2.2.8

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 4.2.2.9

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 + \sqrt{13}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.1

对 $\frac{4 + \sqrt{13}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 + \sqrt{13})}^{3}}{3^{3}} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 + \sqrt{13})}^{3}}{27} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.3.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 + \sqrt{13})}^{3}}{3 (9)} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.3.2

约去公因数。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 + \sqrt{13})}^{3}}{3 \cdot 9} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.3.3

重写表达式。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 + \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.4

使用二项式定理。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{4^{3} + 3 \cdot (4^{2} \sqrt{13}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{13}}^{2}) + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.5.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 3 \cdot (4^{2} \sqrt{13}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{13}}^{2}) + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 3 \cdot (16 \sqrt{13}) + 3 \cdot (4 {\sqrt{13}}^{2}) + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5.3

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 3 \cdot (4 {\sqrt{13}}^{2}) + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5.4

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 12 {\sqrt{13}}^{2} + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5.5

将 ${\sqrt{13}}^{2}$ 重写为 $13$ 。

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解题步骤 4.2.4.5.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{13}$ 重写成 $13^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 12 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.5.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13 + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5.5.5

计算指数。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13 + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5.6

将 $12$ 乘以 $13$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 156 + {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5.7

将 ${\sqrt{13}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{13^{3}}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 156 + \sqrt{13^{3}}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5.8

对 $13$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 156 + \sqrt{2197}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5.9

将 $2197$ 重写为 $13^{2} \cdot 13$ 。

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解题步骤 4.2.4.5.9.1

从 $2197$ 中分解出因数 $169$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 156 + \sqrt{169 (13)}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5.9.2

将 $169$ 重写为 $13^{2}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 156 + \sqrt{13^{2} \cdot 13}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.5.10

从根式下提出各项。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 \sqrt{13} + 156 + 13 \sqrt{13}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.6

将 $64$ 和 $156$ 相加。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 48 \sqrt{13} + 13 \sqrt{13}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.7

将 $48 \sqrt{13}$ 和 $13 \sqrt{13}$ 相加。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 {(\frac{4 + \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.8

对 $\frac{4 + \sqrt{13}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{{(4 + \sqrt{13})}^{2}}{3^{2}} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{{(4 + \sqrt{13})}^{2}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.10

将 ${(4 + \sqrt{13})}^{2}$ 重写为 $(4 + \sqrt{13}) (4 + \sqrt{13})$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{(4 + \sqrt{13}) (4 + \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.11

使用 FOIL 方法展开 $(4 + \sqrt{13}) (4 + \sqrt{13})$ 。

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解题步骤 4.2.4.11.1

运用分配律。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{4 (4 + \sqrt{13}) + \sqrt{13} (4 + \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.11.2

运用分配律。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{13} + \sqrt{13} (4 + \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.11.3

运用分配律。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 \sqrt{13} + \sqrt{13} \cdot 4 + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.4.12.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.12.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{13} + \sqrt{13} \cdot 4 + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.12.1.2

将 $4$ 移到 $\sqrt{13}$ 的左侧。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{13} + 4 \cdot \sqrt{13} + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.12.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} + \sqrt{13 \cdot 13}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.12.1.4

将 $13$ 乘以 $13$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} + \sqrt{169}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.12.1.5

将 $169$ 重写为 $13^{2}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} + \sqrt{13^{2}}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.12.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 + 4 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13} + 13}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.12.2

将 $16$ 和 $13$ 相加。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{29 + 4 \sqrt{13} + 4 \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.12.3

将 $4 \sqrt{13}$ 和 $4 \sqrt{13}$ 相加。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{29 + 8 \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.13

组合 $- 4$ 和 $\frac{29 + 8 \sqrt{13}}{9}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 + 8 \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.14

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.14.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 + 8 \sqrt{13})}{3 (3)} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.14.2

约去公因数。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 + 8 \sqrt{13})}{3 \cdot 3} \cdot 3 + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.14.3

重写表达式。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 + 8 \sqrt{13})}{3} + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.15

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{(4) (29 + 8 \sqrt{13})}{3} + 4 + \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 4.2.4.16

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 + 8 \sqrt{13})}{3} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.5

要将 $- \frac{4 (29 + 8 \sqrt{13})}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 + 8 \sqrt{13})}{3} \cdot \frac{3}{3} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 4.2.6.1

将 $\frac{4 (29 + 8 \sqrt{13})}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 + 8 \sqrt{13}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.6.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 + 8 \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.7

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13} - 4 (29 + 8 \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.8

化简分子。

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解题步骤 4.2.8.1

运用分配律。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13} + (- 4 \cdot 29 - 4 (8 \sqrt{13})) \cdot 3}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.8.2

将 $- 4$ 乘以 $29$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13} + (- 116 - 4 (8 \sqrt{13})) \cdot 3}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.8.3

将 $8$ 乘以 $- 4$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13} + (- 116 - 32 \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.8.4

运用分配律。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13} - 116 \cdot 3 - 32 \sqrt{13} \cdot 3}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.8.5

将 $- 116$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13} - 348 - 32 \sqrt{13} \cdot 3}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.8.6

将 $3$ 乘以 $- 32$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 + 61 \sqrt{13} - 348 - 96 \sqrt{13}}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.8.7

从 $220$ 中减去 $348$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 61 \sqrt{13} - 96 \sqrt{13}}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.8.8

从 $61 \sqrt{13}$ 中减去 $96 \sqrt{13}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 35 \sqrt{13}}{9} + 4 + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.9

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 35 \sqrt{13}}{9} + 4 \cdot \frac{9}{9} + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.10

组合 $4$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 35 \sqrt{13}}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9} + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.11

化简表达式。

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解题步骤 4.2.11.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 35 \sqrt{13} + 4 \cdot 9}{9} + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.11.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 35 \sqrt{13} + 36}{9} + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.11.3

将 $- 128$ 和 $36$ 相加。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 35 \sqrt{13}}{9} + \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.12

要将 $\sqrt{13}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 35 \sqrt{13}}{9} + \sqrt{13} \cdot \frac{9}{9} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.13

组合 $\sqrt{13}$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 35 \sqrt{13}}{9} + \frac{\sqrt{13} \cdot 9}{9} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.14

化简表达式。

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解题步骤 4.2.14.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 35 \sqrt{13} + \sqrt{13} \cdot 9}{9} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.14.2

重新排序 $\sqrt{13} \cdot 9$ 的因式。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 35 \sqrt{13} + 9 \sqrt{13}}{9} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.15

将 $- 35 \sqrt{13}$ 和 $9 \sqrt{13}$ 相加。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 26 \sqrt{13}}{9} + 6}{3}$

解题步骤 4.2.16

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 26 \sqrt{13}}{9} + 6 \cdot \frac{9}{9}}{3}$

解题步骤 4.2.17

合并分数。

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解题步骤 4.2.17.1

组合 $6$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 26 \sqrt{13}}{9} + \frac{6 \cdot 9}{9}}{3}$

解题步骤 4.2.17.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 26 \sqrt{13} + 6 \cdot 9}{9}}{3}$

解题步骤 4.2.18

化简分子。

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解题步骤 4.2.18.1

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 - 26 \sqrt{13} + 54}{9}}{3}$

解题步骤 4.2.18.2

将 $- 92$ 和 $54$ 相加。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 38 - 26 \sqrt{13}}{9}}{3}$

解题步骤 4.2.19

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.2.19.1

将 $- 38$ 重写为 $- 1 (38)$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 38 - 26 \sqrt{13}}{9}}{3}$

解题步骤 4.2.19.2

从 $- 26 \sqrt{13}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 38 - (26 \sqrt{13})}{9}}{3}$

解题步骤 4.2.19.3

从 $- 1 (38) - (26 \sqrt{13})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 1 (38 + 26 \sqrt{13})}{9}}{3}$

解题步骤 4.2.19.4

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = \frac{- \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{9}}{3}$

解题步骤 4.2.20

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = - \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{9} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 4.2.21

乘以 $- \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{9} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 4.2.21.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{38 + 26 \sqrt{13}}{9}$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = - \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{3 \cdot 9}$

解题步骤 4.2.21.2

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{4 + \sqrt{13}}{3}) = - \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{27}$

解题步骤 4.2.22

最终答案为 $- \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{27}$ 。

$- \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{27}$

解题步骤 5

求在 $x = \frac{4 - \sqrt{13}}{3}$ 处的原函数 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\frac{4 - \sqrt{13}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

去掉圆括号。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 5.2.2

求公分母。

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解题步骤 5.2.2.1

将 ${(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3}$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 5.2.2.2

将 $\frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1} \cdot \frac{3}{3} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 5.2.2.3

将 $\frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3}}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 5.2.2.4

将 $- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2}$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 5.2.2.5

将 $\frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 5.2.2.6

将 $\frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2}}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + 2$

解题步骤 5.2.2.7

将 $2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + \frac{2}{1}$

解题步骤 5.2.2.8

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 5.2.2.9

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3}{3} + \frac{- 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 - \sqrt{13}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{{(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{3} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1

对 $\frac{4 - \sqrt{13}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 - \sqrt{13})}^{3}}{3^{3}} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 - \sqrt{13})}^{3}}{27} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.3.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 - \sqrt{13})}^{3}}{3 (9)} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.3.2

约去公因数。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 - \sqrt{13})}^{3}}{3 \cdot 9} \cdot 3 - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.3.3

重写表达式。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{{(4 - \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.4

使用二项式定理。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{4^{3} + 3 \cdot (4^{2} (- \sqrt{13})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{13})}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.5.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 3 \cdot (4^{2} (- \sqrt{13})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{13})}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 3 \cdot (16 (- \sqrt{13})) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{13})}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.3

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 + 48 (- \sqrt{13}) + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{13})}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.4

将 $- 1$ 乘以 $48$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 3 \cdot (4 {(- \sqrt{13})}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.5

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 {(- \sqrt{13})}^{2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.6

对 $- \sqrt{13}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{13}}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 (1 {\sqrt{13}}^{2}) + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.8

将 ${\sqrt{13}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 {\sqrt{13}}^{2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.9

将 ${\sqrt{13}}^{2}$ 重写为 $13$ 。

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解题步骤 5.2.4.5.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{13}$ 重写成 $13^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.5.9.4.1

约去公因数。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.9.4.2

重写表达式。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13 + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.9.5

计算指数。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 12 \cdot 13 + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.10

将 $12$ 乘以 $13$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 + {(- \sqrt{13})}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.11

对 $- \sqrt{13}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 - {\sqrt{13}}^{3}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.13

将 ${\sqrt{13}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{13^{3}}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 - \sqrt{13^{3}}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.14

对 $13$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 - \sqrt{2197}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.15

将 $2197$ 重写为 $13^{2} \cdot 13$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.4.5.15.1

从 $2197$ 中分解出因数 $169$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 - \sqrt{169 (13)}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.15.2

将 $169$ 重写为 $13^{2}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 - \sqrt{13^{2} \cdot 13}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.16

从根式下提出各项。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 - (13 \sqrt{13})}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.5.17

将 $13$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{64 - 48 \sqrt{13} + 156 - 13 \sqrt{13}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.6

将 $64$ 和 $156$ 相加。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 48 \sqrt{13} - 13 \sqrt{13}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.7

从 $- 48 \sqrt{13}$ 中减去 $13 \sqrt{13}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 {(\frac{4 - \sqrt{13}}{3})}^{2} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.8

对 $\frac{4 - \sqrt{13}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{{(4 - \sqrt{13})}^{2}}{3^{2}} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{{(4 - \sqrt{13})}^{2}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.10

将 ${(4 - \sqrt{13})}^{2}$ 重写为 $(4 - \sqrt{13}) (4 - \sqrt{13})$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{(4 - \sqrt{13}) (4 - \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.11

使用 FOIL 方法展开 $(4 - \sqrt{13}) (4 - \sqrt{13})$ 。

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解题步骤 5.2.4.11.1

运用分配律。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{4 (4 - \sqrt{13}) - \sqrt{13} (4 - \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.11.2

运用分配律。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{13}) - \sqrt{13} (4 - \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.11.3

运用分配律。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{13}) - \sqrt{13} \cdot 4 - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.4.12.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.12.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 + 4 (- \sqrt{13}) - \sqrt{13} \cdot 4 - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - \sqrt{13} \cdot 4 - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} - \sqrt{13} (- \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.1.4

乘以 $- \sqrt{13} (- \sqrt{13})$ 。

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解题步骤 5.2.4.12.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + 1 \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.1.4.2

将 $\sqrt{13}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.1.4.3

对 $\sqrt{13}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.1.4.4

对 $\sqrt{13}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + \sqrt{13} \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + {\sqrt{13}}^{1 + 1}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + {\sqrt{13}}^{2}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.1.5

将 ${\sqrt{13}}^{2}$ 重写为 $13$ 。

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解题步骤 5.2.4.12.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{13}$ 重写成 $13^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + 13^{\frac{2}{2}}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.12.1.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + 13^{\frac{2}{2}}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.1.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + 13}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.1.5.5

计算指数。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{16 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13} + 13}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.2

将 $16$ 和 $13$ 相加。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{29 - 4 \sqrt{13} - 4 \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.12.3

从 $- 4 \sqrt{13}$ 中减去 $4 \sqrt{13}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - 4 \frac{29 - 8 \sqrt{13}}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.13

组合 $- 4$ 和 $\frac{29 - 8 \sqrt{13}}{9}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 - 8 \sqrt{13})}{9} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.14

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.14.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 - 8 \sqrt{13})}{3 (3)} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.14.2

约去公因数。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 - 8 \sqrt{13})}{3 \cdot 3} \cdot 3 + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.14.3

重写表达式。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} + \frac{- 4 (29 - 8 \sqrt{13})}{3} + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.15

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{(4) (29 - 8 \sqrt{13})}{3} + 4 - \sqrt{13} + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 5.2.4.16

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 - 8 \sqrt{13})}{3} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.5

要将 $- \frac{4 (29 - 8 \sqrt{13})}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 - 8 \sqrt{13})}{3} \cdot \frac{3}{3} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.6

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 5.2.6.1

将 $\frac{4 (29 - 8 \sqrt{13})}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 - 8 \sqrt{13}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.6.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13}}{9} - \frac{4 (29 - 8 \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.7

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13} - 4 (29 - 8 \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.8

化简分子。

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解题步骤 5.2.8.1

运用分配律。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13} + (- 4 \cdot 29 - 4 (- 8 \sqrt{13})) \cdot 3}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.8.2

将 $- 4$ 乘以 $29$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13} + (- 116 - 4 (- 8 \sqrt{13})) \cdot 3}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.8.3

将 $- 8$ 乘以 $- 4$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13} + (- 116 + 32 \sqrt{13}) \cdot 3}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.8.4

运用分配律。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13} - 116 \cdot 3 + 32 \sqrt{13} \cdot 3}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.8.5

将 $- 116$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13} - 348 + 32 \sqrt{13} \cdot 3}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.8.6

将 $3$ 乘以 $32$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{220 - 61 \sqrt{13} - 348 + 96 \sqrt{13}}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.8.7

从 $220$ 中减去 $348$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 - 61 \sqrt{13} + 96 \sqrt{13}}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.8.8

将 $- 61 \sqrt{13}$ 和 $96 \sqrt{13}$ 相加。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 35 \sqrt{13}}{9} + 4 - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.9

要将 $4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 35 \sqrt{13}}{9} + 4 \cdot \frac{9}{9} - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.10

组合 $4$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 35 \sqrt{13}}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9} - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.11

化简表达式。

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解题步骤 5.2.11.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 35 \sqrt{13} + 4 \cdot 9}{9} - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.11.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 128 + 35 \sqrt{13} + 36}{9} - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.11.3

将 $- 128$ 和 $36$ 相加。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 35 \sqrt{13}}{9} - \sqrt{13} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.12

要将 $- \sqrt{13}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 35 \sqrt{13}}{9} - \sqrt{13} \cdot \frac{9}{9} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.13

合并分数。

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解题步骤 5.2.13.1

组合 $- \sqrt{13}$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 35 \sqrt{13}}{9} + \frac{- \sqrt{13} \cdot 9}{9} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.13.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 35 \sqrt{13} - \sqrt{13} \cdot 9}{9} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.14

化简分子。

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解题步骤 5.2.14.1

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 35 \sqrt{13} - 9 \sqrt{13}}{9} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.14.2

从 $35 \sqrt{13}$ 中减去 $9 \sqrt{13}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 26 \sqrt{13}}{9} + 6}{3}$

解题步骤 5.2.15

要将 $6$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 26 \sqrt{13}}{9} + 6 \cdot \frac{9}{9}}{3}$

解题步骤 5.2.16

合并分数。

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解题步骤 5.2.16.1

组合 $6$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 26 \sqrt{13}}{9} + \frac{6 \cdot 9}{9}}{3}$

解题步骤 5.2.16.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 26 \sqrt{13} + 6 \cdot 9}{9}}{3}$

解题步骤 5.2.17

化简分子。

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解题步骤 5.2.17.1

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 92 + 26 \sqrt{13} + 54}{9}}{3}$

解题步骤 5.2.17.2

将 $- 92$ 和 $54$ 相加。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 38 + 26 \sqrt{13}}{9}}{3}$

解题步骤 5.2.18

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.2.18.1

将 $- 38$ 重写为 $- 1 (38)$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 38 + 26 \sqrt{13}}{9}}{3}$

解题步骤 5.2.18.2

从 $26 \sqrt{13}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 1 \cdot 38 - (- 26 \sqrt{13})}{9}}{3}$

解题步骤 5.2.18.3

从 $- 1 (38) - (- 26 \sqrt{13})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{\frac{- 1 (38 - 26 \sqrt{13})}{9}}{3}$

解题步骤 5.2.18.4

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = \frac{- \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{9}}{3}$

解题步骤 5.2.19

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = - \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{9} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 5.2.20

乘以 $- \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{9} \cdot \frac{1}{3}$ 。

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解题步骤 5.2.20.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{38 - 26 \sqrt{13}}{9}$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = - \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{3 \cdot 9}$

解题步骤 5.2.20.2

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{4 - \sqrt{13}}{3}) = - \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{27}$

解题步骤 5.2.21

最终答案为 $- \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{27}$ 。

$- \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{27}$

解题步骤 6

函数 $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ 上的水平切线是 $y = - \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{27}, y = - \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{27}$ 。

$y = - \frac{38 + 26 \sqrt{13}}{27}, y = - \frac{38 - 26 \sqrt{13}}{27}$

解题步骤 7

微积分学 示例

微积分学示例