微积分学示例

$f (x) = x \sin (x)$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1$

解题步骤 1.3.2

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$x \cos (x) + \sin (x)$

解题步骤 2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx 0, - 2.02875783, 2.02875783, - 4.91318043, 4.91318043, - 7.97866571, 7.97866571$

解题步骤 3

求在 $x = 0$ 处的原函数 $f (x) = x \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = (0) \sin (0)$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (0) = 0 \cdot 0$

解题步骤 3.2.2

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

求在 $x = - 2.02875783$ 处的原函数 $f (x) = x \sin (x)$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- 2.02875783$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2.02875783) = (- 2.02875783) \sin (- 2.02875783)$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 2.02875783$ 乘以 $\sin (- 2.02875783)$ 。

$f (- 2.02875783) = 1.81970574$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $1.81970574$ 。

$1.81970574$

解题步骤 5

求在 $x = 2.02875783$ 处的原函数 $f (x) = x \sin (x)$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $2.02875783$ 替换变量 $x$ 。

$f (2.02875783) = (2.02875783) \sin (2.02875783)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

将 $2.02875783$ 乘以 $\sin (2.02875783)$ 。

$f (2.02875783) = 1.81970574$

解题步骤 5.2.2

最终答案为 $1.81970574$ 。

$1.81970574$

解题步骤 6

求在 $x = - 4.91318043$ 处的原函数 $f (x) = x \sin (x)$ 。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 4.91318043$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4.91318043) = (- 4.91318043) \sin (- 4.91318043)$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

将 $- 4.91318043$ 乘以 $\sin (- 4.91318043)$ 。

$f (- 4.91318043) = - 4.81446988$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $- 4.81446988$ 。

$- 4.81446988$

解题步骤 7

求在 $x = 4.91318043$ 处的原函数 $f (x) = x \sin (x)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $4.91318043$ 替换变量 $x$ 。

$f (4.91318043) = (4.91318043) \sin (4.91318043)$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

将 $4.91318043$ 乘以 $\sin (4.91318043)$ 。

$f (4.91318043) = - 4.81446988$

解题步骤 7.2.2

最终答案为 $- 4.81446988$ 。

$- 4.81446988$

解题步骤 8

求在 $x = - 7.97866571$ 处的原函数 $f (x) = x \sin (x)$ 。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $- 7.97866571$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 7.97866571) = (- 7.97866571) \sin (- 7.97866571)$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

将 $- 7.97866571$ 乘以 $\sin (- 7.97866571)$ 。

$f (- 7.97866571) = 7.91672737$

解题步骤 8.2.2

最终答案为 $7.91672737$ 。

$7.91672737$

解题步骤 9

求在 $x = 7.97866571$ 处的原函数 $f (x) = x \sin (x)$ 。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $7.97866571$ 替换变量 $x$ 。

$f (7.97866571) = (7.97866571) \sin (7.97866571)$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

将 $7.97866571$ 乘以 $\sin (7.97866571)$ 。

$f (7.97866571) = 7.91672737$

解题步骤 9.2.2

最终答案为 $7.91672737$ 。

$7.91672737$

解题步骤 10

函数 $f (x) = x \sin (x)$ 上的水平切线是 $y = 0, y = 1.81970574, y = 1.81970574, y = - 4.81446988, y = - 4.81446988, y = 7.91672737, y = 7.91672737$ 。

$y = 0, y = 1.81970574, y = 1.81970574, y = - 4.81446988, y = - 4.81446988, y = 7.91672737, y = 7.91672737$

解题步骤 11

微积分学 示例

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