微积分学示例

$f (x) = x \ln (x^{2})$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x^{2})$ 。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

组合 $\frac{1}{x^{2}}$ 和 $x$ 。

$\frac{x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2.3

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2.3.2

约去公因数。

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2.3.3

重写表达式。

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x} (2 x) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4

化简项。

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解题步骤 1.3.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{2}{x} x + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4.2

组合 $\frac{2}{x}$ 和 $x$ 。

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.4.3.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{x} + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.4.3.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 + \ln (x^{2}) \cdot 1$

解题步骤 1.3.6

将 $\ln (x^{2})$ 乘以 $1$ 。

$2 + \ln (x^{2})$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $2 + \ln (x^{2}) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$\ln (x^{2}) = - 2$

解题步骤 2.2

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 2}$

解题步骤 2.3

使用对数的定义将 $\ln (x^{2}) = - 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- 2} = x^{2}$

解题步骤 2.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将方程重写为 $x^{2} = e^{- 2}$ 。

$x^{2} = e^{- 2}$

解题步骤 2.4.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{e^{- 2}}$

解题步骤 2.4.3

化简 $\pm \sqrt{e^{- 2}}$ 。

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解题步骤 2.4.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$

解题步骤 2.4.3.2

将 $\sqrt{\frac{1}{e^{2}}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e^{2}}}$

解题步骤 2.4.3.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e^{2}}}$

解题步骤 2.4.3.4

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{1}{e}$

解题步骤 2.4.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.4.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{1}{e}$

解题步骤 2.4.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{1}{e}$

解题步骤 2.4.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{1}{e}, - \frac{1}{e}$

解题步骤 3

求在 $x = \frac{1}{e}$ 处的原函数 $f (x) = x \ln (x^{2})$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\frac{1}{e}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{e}) = (\frac{1}{e}) \ln ({(\frac{1}{e})}^{2})$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

对 $\frac{1}{e}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

解题步骤 3.2.2

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $e^{2}$ 移动到分子。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

解题步骤 3.2.3

将 $\ln (1^{2} e^{- 2})$ 重写为 $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

解题步骤 3.2.4

使用对数规则把 $- 2$ 移到指数外部。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

解题步骤 3.2.5

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

解题步骤 3.2.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

解题步骤 3.2.7

化简每一项。

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解题步骤 3.2.7.1

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (1^{2})$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

解题步骤 3.2.7.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

解题步骤 3.2.7.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

解题步骤 3.2.8

合并分数。

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解题步骤 3.2.8.1

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{1}{e} \cdot - 2$

解题步骤 3.2.8.2

组合 $\frac{1}{e}$ 和 $- 2$ 。

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 2}{e}$

解题步骤 3.2.8.3

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{2}{e}$

解题步骤 3.2.9

最终答案为 $- \frac{2}{e}$ 。

$- \frac{2}{e}$

解题步骤 4

求在 $x = - \frac{1}{e}$ 处的原函数 $f (x) = x \ln (x^{2})$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- \frac{1}{e}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = (- \frac{1}{e}) \ln ({(- \frac{1}{e})}^{2})$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $- \frac{1}{e}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{e})}^{2})$

解题步骤 4.2.1.2

对 $\frac{1}{e}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

解题步骤 4.2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1 (\frac{1^{2}}{e^{2}}))$

解题步骤 4.2.3

将 $\frac{1^{2}}{e^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1^{2}}{e^{2}})$

解题步骤 4.2.4

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $e^{2}$ 移动到分子。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot \ln (1^{2} e^{- 2})$

解题步骤 4.2.5

将 $\ln (1^{2} e^{- 2})$ 重写为 $\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2})$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) + \ln (e^{- 2}))$

解题步骤 4.2.6

使用对数规则把 $- 2$ 移到指数外部。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \ln (e))$

解题步骤 4.2.7

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2 \cdot 1)$

解题步骤 4.2.8

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (\ln (1^{2}) - 2)$

解题步骤 4.2.9

化简每一项。

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解题步骤 4.2.9.1

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (1^{2})$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \ln (1) - 2)$

解题步骤 4.2.9.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (2 \cdot 0 - 2)$

解题步骤 4.2.9.3

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot (0 - 2)$

解题步骤 4.2.10

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = - \frac{1}{e} \cdot - 2$

解题步骤 4.2.11

乘以 $- \frac{1}{e} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 4.2.11.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = 2 (\frac{1}{e})$

解题步骤 4.2.11.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$f (- \frac{1}{e}) = \frac{2}{e}$

解题步骤 4.2.12

最终答案为 $\frac{2}{e}$ 。

$\frac{2}{e}$

解题步骤 5

函数 $f (x) = x \ln (x^{2})$ 上的水平切线是 $y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$ 。

$y = - \frac{2}{e}, y = \frac{2}{e}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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