微积分学示例

$y = (7 x^{2} - 6 x + 1) (1 + 2 x)$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = (7 x^{2} - 6 x + 1) (1 + 2 x)$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 7 x^{2} - 6 x + 1$ 且 $g (x) = 1 + 2 x$ 。

$(7 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [1 + 2 x] + (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 6 x + 1]$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $1 + 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]$ 。

$(7 x^{2} - 6 x + 1) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 6 x + 1]$

解题步骤 2.2.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(7 x^{2} - 6 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [2 x]) + (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 6 x + 1]$

解题步骤 2.2.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 相加。

$(7 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x] + (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 6 x + 1]$

解题步骤 2.2.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(7 x^{2} - 6 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x]) + (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 6 x + 1]$

解题步骤 2.2.5

将 $2$ 移到 $7 x^{2} - 6 x + 1$ 的左侧。

$2 \cdot (7 x^{2} - 6 x + 1) \frac{d}{d x} [x] + (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 6 x + 1]$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (7 x^{2} - 6 x + 1) \cdot 1 + (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 6 x + 1]$

解题步骤 2.2.7

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 (7 x^{2} - 6 x + 1) + (1 + 2 x) \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 6 x + 1]$

解题步骤 2.2.8

根据加法法则， $7 x^{2} - 6 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$2 (7 x^{2} - 6 x + 1) + (1 + 2 x) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.2.9

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 (7 x^{2} - 6 x + 1) + (1 + 2 x) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (7 x^{2} - 6 x + 1) + (1 + 2 x) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.2.11

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$2 (7 x^{2} - 6 x + 1) + (1 + 2 x) (14 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.2.12

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 (7 x^{2} - 6 x + 1) + (1 + 2 x) (14 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (7 x^{2} - 6 x + 1) + (1 + 2 x) (14 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.2.14

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$2 (7 x^{2} - 6 x + 1) + (1 + 2 x) (14 x - 6 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 2.2.15

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (7 x^{2} - 6 x + 1) + (1 + 2 x) (14 x - 6 + 0)$

解题步骤 2.2.16

将 $14 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$2 (7 x^{2} - 6 x + 1) + (1 + 2 x) (14 x - 6)$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$2 (7 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1 + (1 + 2 x) (14 x - 6)$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$2 (7 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1 + (1 + 2 x) (14 x) + (1 + 2 x) \cdot - 6$

解题步骤 2.3.3

运用分配律。

$2 (7 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1 + 1 (14 x) + 2 x (14 x) + (1 + 2 x) \cdot - 6$

解题步骤 2.3.4

运用分配律。

$2 (7 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1 + 1 (14 x) + 2 x (14 x) + 1 \cdot - 6 + 2 x \cdot - 6$

解题步骤 2.3.5

合并项。

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解题步骤 2.3.5.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$14 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot 1 + 1 (14 x) + 2 x (14 x) + 1 \cdot - 6 + 2 x \cdot - 6$

解题步骤 2.3.5.2

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$14 x^{2} - 12 x + 2 \cdot 1 + 1 (14 x) + 2 x (14 x) + 1 \cdot - 6 + 2 x \cdot - 6$

解题步骤 2.3.5.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$14 x^{2} - 12 x + 2 + 1 (14 x) + 2 x (14 x) + 1 \cdot - 6 + 2 x \cdot - 6$

解题步骤 2.3.5.4

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$14 x^{2} - 12 x + 2 + 14 x + 2 x (14 x) + 1 \cdot - 6 + 2 x \cdot - 6$

解题步骤 2.3.5.5

将 $14$ 乘以 $2$ 。

$14 x^{2} - 12 x + 2 + 14 x + 28 x \cdot x + 1 \cdot - 6 + 2 x \cdot - 6$

解题步骤 2.3.5.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$14 x^{2} - 12 x + 2 + 14 x + 28 (x^{1} x) + 1 \cdot - 6 + 2 x \cdot - 6$

解题步骤 2.3.5.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$14 x^{2} - 12 x + 2 + 14 x + 28 (x^{1} x^{1}) + 1 \cdot - 6 + 2 x \cdot - 6$

解题步骤 2.3.5.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$14 x^{2} - 12 x + 2 + 14 x + 28 x^{1 + 1} + 1 \cdot - 6 + 2 x \cdot - 6$

解题步骤 2.3.5.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$14 x^{2} - 12 x + 2 + 14 x + 28 x^{2} + 1 \cdot - 6 + 2 x \cdot - 6$

解题步骤 2.3.5.10

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$14 x^{2} - 12 x + 2 + 14 x + 28 x^{2} - 6 + 2 x \cdot - 6$

解题步骤 2.3.5.11

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$14 x^{2} - 12 x + 2 + 14 x + 28 x^{2} - 6 - 12 x$

解题步骤 2.3.5.12

从 $14 x$ 中减去 $12 x$ 。

$14 x^{2} - 12 x + 2 + 2 x + 28 x^{2} - 6$

解题步骤 2.3.5.13

将 $- 12 x$ 和 $2 x$ 相加。

$14 x^{2} - 10 x + 2 + 28 x^{2} - 6$

解题步骤 2.3.5.14

将 $14 x^{2}$ 和 $28 x^{2}$ 相加。

$42 x^{2} - 10 x + 2 - 6$

解题步骤 2.3.5.15

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$42 x^{2} - 10 x - 4$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $42 x^{2} - 10 x - 4 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

从 $42 x^{2} - 10 x - 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $42 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (21 x^{2}) - 10 x - 4 = 0$

解题步骤 3.1.2

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (21 x^{2}) + 2 (- 5 x) - 4 = 0$

解题步骤 3.1.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (21 x^{2}) + 2 (- 5 x) + 2 (- 2) = 0$

解题步骤 3.1.4

从 $2 (21 x^{2}) + 2 (- 5 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (21 x^{2} - 5 x) + 2 (- 2) = 0$

解题步骤 3.1.5

从 $2 (21 x^{2} - 5 x) + 2 (- 2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (21 x^{2} - 5 x - 2) = 0$

解题步骤 3.2

将 $2 (21 x^{2} - 5 x - 2) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $2 (21 x^{2} - 5 x - 2) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (21 x^{2} - 5 x - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (21 x^{2} - 5 x - 2)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $21 x^{2} - 5 x - 2$ 除以 $1$ 。

$21 x^{2} - 5 x - 2 = \frac{0}{2}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$21 x^{2} - 5 x - 2 = 0$

解题步骤 3.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.4

将 $a = 21$ 、 $b = - 5$ 和 $c = - 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (21 \cdot - 2)}}{2 \cdot 21}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 21 \cdot - 2}}{2 \cdot 21}$

解题步骤 3.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 21 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 3.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $21$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 84 \cdot - 2}}{2 \cdot 21}$

解题步骤 3.5.1.2.2

将 $- 84$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 168}}{2 \cdot 21}$

解题步骤 3.5.1.3

将 $25$ 和 $168$ 相加。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{193}}{2 \cdot 21}$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $21$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{193}}{42}$

解题步骤 3.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 21 \cdot - 2}}{2 \cdot 21}$

解题步骤 3.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 21 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 3.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $21$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 84 \cdot - 2}}{2 \cdot 21}$

解题步骤 3.6.1.2.2

将 $- 84$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 168}}{2 \cdot 21}$

解题步骤 3.6.1.3

将 $25$ 和 $168$ 相加。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{193}}{2 \cdot 21}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $21$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{193}}{42}$

解题步骤 3.6.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{5 + \sqrt{193}}{42}$

解题步骤 3.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.7.1.1

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 21 \cdot - 2}}{2 \cdot 21}$

解题步骤 3.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot 21 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 3.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $21$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 84 \cdot - 2}}{2 \cdot 21}$

解题步骤 3.7.1.2.2

将 $- 84$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 168}}{2 \cdot 21}$

解题步骤 3.7.1.3

将 $25$ 和 $168$ 相加。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{193}}{2 \cdot 21}$

解题步骤 3.7.2

将 $2$ 乘以 $21$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{193}}{42}$

解题步骤 3.7.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{5 - \sqrt{193}}{42}$

解题步骤 3.8

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{5 + \sqrt{193}}{42}, \frac{5 - \sqrt{193}}{42}$

解题步骤 4

求在 $x = \frac{5 + \sqrt{193}}{42}$ 处的原函数 $f (x) = (7 x^{2} - 6 x + 1) (1 + 2 x)$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{5 + \sqrt{193}}{42}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (7 {(\frac{5 + \sqrt{193}}{42})}^{2} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $\frac{5 + \sqrt{193}}{42}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (7 (\frac{{(5 + \sqrt{193})}^{2}}{42^{2}}) - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.2

对 $42$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (7 (\frac{{(5 + \sqrt{193})}^{2}}{1764}) - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.3

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.3.1

从 $1764$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (7 (\frac{{(5 + \sqrt{193})}^{2}}{7 (252)}) - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.3.2

约去公因数。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (7 (\frac{{(5 + \sqrt{193})}^{2}}{7 \cdot 252}) - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.3.3

重写表达式。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{{(5 + \sqrt{193})}^{2}}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.4

将 ${(5 + \sqrt{193})}^{2}$ 重写为 $(5 + \sqrt{193}) (5 + \sqrt{193})$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{(5 + \sqrt{193}) (5 + \sqrt{193})}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(5 + \sqrt{193}) (5 + \sqrt{193})$ 。

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解题步骤 4.2.1.5.1

运用分配律。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{5 (5 + \sqrt{193}) + \sqrt{193} (5 + \sqrt{193})}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.5.2

运用分配律。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{193} + \sqrt{193} (5 + \sqrt{193})}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.5.3

运用分配律。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{193} + \sqrt{193} \cdot 5 + \sqrt{193} \sqrt{193}}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.6.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 + 5 \sqrt{193} + \sqrt{193} \cdot 5 + \sqrt{193} \sqrt{193}}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.6.1.2

将 $5$ 移到 $\sqrt{193}$ 的左侧。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 + 5 \sqrt{193} + 5 \cdot \sqrt{193} + \sqrt{193} \sqrt{193}}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.6.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 + 5 \sqrt{193} + 5 \sqrt{193} + \sqrt{193 \cdot 193}}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.6.1.4

将 $193$ 乘以 $193$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 + 5 \sqrt{193} + 5 \sqrt{193} + \sqrt{37249}}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.6.1.5

将 $37249$ 重写为 $193^{2}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 + 5 \sqrt{193} + 5 \sqrt{193} + \sqrt{193^{2}}}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.6.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 + 5 \sqrt{193} + 5 \sqrt{193} + 193}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.6.2

将 $25$ 和 $193$ 相加。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{218 + 5 \sqrt{193} + 5 \sqrt{193}}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.6.3

将 $5 \sqrt{193}$ 和 $5 \sqrt{193}$ 相加。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{218 + 10 \sqrt{193}}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.7

约去 $218 + 10 \sqrt{193}$ 和 $252$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.7.1

从 $218$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{2 (109) + 10 \sqrt{193}}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.7.2

从 $10 \sqrt{193}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{2 (109) + 2 (5 \sqrt{193})}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.7.3

从 $2 (109) + 2 (5 \sqrt{193})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{2 (109 + 5 \sqrt{193})}{252} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.7.4

约去公因数。

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解题步骤 4.2.1.7.4.1

从 $252$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{2 (109 + 5 \sqrt{193})}{2 \cdot 126} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.7.4.2

约去公因数。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{2 (109 + 5 \sqrt{193})}{2 \cdot 126} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.7.4.3

重写表达式。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 + 5 \sqrt{193}}{126} - 6 \frac{5 + \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.8

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.8.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 + 5 \sqrt{193}}{126} + 6 (- 1) (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.8.2

从 $42$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 + 5 \sqrt{193}}{126} + 6 \cdot (- 1 \frac{5 + \sqrt{193}}{6 \cdot 7}) + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.8.3

约去公因数。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 + 5 \sqrt{193}}{126} + 6 \cdot (- 1 \frac{5 + \sqrt{193}}{6 \cdot 7}) + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.8.4

重写表达式。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 + 5 \sqrt{193}}{126} - 1 \frac{5 + \sqrt{193}}{7} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.1.9

将 $- 1 \frac{5 + \sqrt{193}}{7}$ 重写为 $- \frac{5 + \sqrt{193}}{7}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 + 5 \sqrt{193}}{126} - \frac{5 + \sqrt{193}}{7} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.2

求公分母。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $\frac{5 + \sqrt{193}}{7}$ 乘以 $\frac{18}{18}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 + 5 \sqrt{193}}{126} - (\frac{5 + \sqrt{193}}{7} \cdot \frac{18}{18}) + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.2.2

将 $\frac{5 + \sqrt{193}}{7}$ 乘以 $\frac{18}{18}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 + 5 \sqrt{193}}{126} - \frac{(5 + \sqrt{193}) \cdot 18}{7 \cdot 18} + 1) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.2.3

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 + 5 \sqrt{193}}{126} - \frac{(5 + \sqrt{193}) \cdot 18}{7 \cdot 18} + \frac{1}{1}) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.2.4

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{126}{126}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 + 5 \sqrt{193}}{126} - \frac{(5 + \sqrt{193}) \cdot 18}{7 \cdot 18} + \frac{1}{1} \cdot \frac{126}{126}) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.2.5

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{126}{126}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 + 5 \sqrt{193}}{126} - \frac{(5 + \sqrt{193}) \cdot 18}{7 \cdot 18} + \frac{126}{126}) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.2.6

将 $7$ 乘以 $18$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 + 5 \sqrt{193}}{126} - \frac{(5 + \sqrt{193}) \cdot 18}{126} + \frac{126}{126}) (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.3

化简项。

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解题步骤 4.2.3.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{109 + 5 \sqrt{193} - (5 + \sqrt{193}) \cdot 18 + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.3.2.1

运用分配律。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{109 + 5 \sqrt{193} + (- 1 \cdot 5 - \sqrt{193}) \cdot 18 + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{109 + 5 \sqrt{193} + (- 5 - \sqrt{193}) \cdot 18 + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.3.2.3

运用分配律。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{109 + 5 \sqrt{193} - 5 \cdot 18 - \sqrt{193} \cdot 18 + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.3.2.4

将 $- 5$ 乘以 $18$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{109 + 5 \sqrt{193} - 90 - \sqrt{193} \cdot 18 + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.3.2.5

将 $18$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{109 + 5 \sqrt{193} - 90 - 18 \sqrt{193} + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.3.3

化简项。

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解题步骤 4.2.3.3.1

从 $109$ 中减去 $90$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{19 + 5 \sqrt{193} - 18 \sqrt{193} + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.3.3.2

将 $19$ 和 $126$ 相加。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 + 5 \sqrt{193} - 18 \sqrt{193}}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.3.3.3

从 $5 \sqrt{193}$ 中减去 $18 \sqrt{193}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 - 13 \sqrt{193}}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 4.2.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.3.4.1

从 $42$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 - 13 \sqrt{193}}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{2 (21)}))$

解题步骤 4.2.3.3.4.2

约去公因数。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 - 13 \sqrt{193}}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 + \sqrt{193}}{2 \cdot 21}))$

解题步骤 4.2.3.3.4.3

重写表达式。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 - 13 \sqrt{193}}{126} \cdot (1 + \frac{5 + \sqrt{193}}{21})$

解题步骤 4.2.3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 4.2.3.3.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 - 13 \sqrt{193}}{126} \cdot (\frac{21}{21} + \frac{5 + \sqrt{193}}{21})$

解题步骤 4.2.3.3.5.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 - 13 \sqrt{193}}{126} \cdot \frac{21 + 5 + \sqrt{193}}{21}$

解题步骤 4.2.4

将 $21$ 和 $5$ 相加。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 - 13 \sqrt{193}}{126} \cdot \frac{26 + \sqrt{193}}{21}$

解题步骤 4.2.5

乘以 $\frac{145 - 13 \sqrt{193}}{126} \cdot \frac{26 + \sqrt{193}}{21}$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $\frac{145 - 13 \sqrt{193}}{126}$ 乘以 $\frac{26 + \sqrt{193}}{21}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{(145 - 13 \sqrt{193}) (26 + \sqrt{193})}{126 \cdot 21}$

解题步骤 4.2.5.2

将 $126$ 乘以 $21$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{(145 - 13 \sqrt{193}) (26 + \sqrt{193})}{2646}$

解题步骤 4.2.6

使用 FOIL 方法展开 $(145 - 13 \sqrt{193}) (26 + \sqrt{193})$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

运用分配律。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 (26 + \sqrt{193}) - 13 \sqrt{193} (26 + \sqrt{193})}{2646}$

解题步骤 4.2.6.2

运用分配律。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 \cdot 26 + 145 \sqrt{193} - 13 \sqrt{193} (26 + \sqrt{193})}{2646}$

解题步骤 4.2.6.3

运用分配律。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 \cdot 26 + 145 \sqrt{193} - 13 \sqrt{193} \cdot 26 - 13 \sqrt{193} \sqrt{193}}{2646}$

解题步骤 4.2.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.7.1.1

将 $145$ 乘以 $26$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 + 145 \sqrt{193} - 13 \sqrt{193} \cdot 26 - 13 \sqrt{193} \sqrt{193}}{2646}$

解题步骤 4.2.7.1.2

将 $26$ 乘以 $- 13$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 + 145 \sqrt{193} - 338 \sqrt{193} - 13 \sqrt{193} \sqrt{193}}{2646}$

解题步骤 4.2.7.1.3

乘以 $- 13 \sqrt{193} \sqrt{193}$ 。

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解题步骤 4.2.7.1.3.1

对 $\sqrt{193}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 + 145 \sqrt{193} - 338 \sqrt{193} - 13 (\sqrt{193} \sqrt{193})}{2646}$

解题步骤 4.2.7.1.3.2

对 $\sqrt{193}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 + 145 \sqrt{193} - 338 \sqrt{193} - 13 (\sqrt{193} \sqrt{193})}{2646}$

解题步骤 4.2.7.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 + 145 \sqrt{193} - 338 \sqrt{193} - 13 {\sqrt{193}}^{1 + 1}}{2646}$

解题步骤 4.2.7.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 + 145 \sqrt{193} - 338 \sqrt{193} - 13 {\sqrt{193}}^{2}}{2646}$

解题步骤 4.2.7.1.4

将 ${\sqrt{193}}^{2}$ 重写为 $193$ 。

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解题步骤 4.2.7.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{193}$ 重写成 $193^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 + 145 \sqrt{193} - 338 \sqrt{193} - 13 {(193^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2646}$

解题步骤 4.2.7.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 + 145 \sqrt{193} - 338 \sqrt{193} - 13 \cdot 193^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2646}$

解题步骤 4.2.7.1.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 + 145 \sqrt{193} - 338 \sqrt{193} - 13 \cdot 193^{\frac{2}{2}}}{2646}$

解题步骤 4.2.7.1.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.7.1.4.4.1

约去公因数。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 + 145 \sqrt{193} - 338 \sqrt{193} - 13 \cdot 193^{\frac{2}{2}}}{2646}$

解题步骤 4.2.7.1.4.4.2

重写表达式。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 + 145 \sqrt{193} - 338 \sqrt{193} - 13 \cdot 193}{2646}$

解题步骤 4.2.7.1.4.5

计算指数。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 + 145 \sqrt{193} - 338 \sqrt{193} - 13 \cdot 193}{2646}$

解题步骤 4.2.7.1.5

将 $- 13$ 乘以 $193$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 + 145 \sqrt{193} - 338 \sqrt{193} - 2509}{2646}$

解题步骤 4.2.7.2

从 $3770$ 中减去 $2509$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{1261 + 145 \sqrt{193} - 338 \sqrt{193}}{2646}$

解题步骤 4.2.7.3

从 $145 \sqrt{193}$ 中减去 $338 \sqrt{193}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{193}}{42}) = \frac{1261 - 193 \sqrt{193}}{2646}$

解题步骤 4.2.8

最终答案为 $\frac{1261 - 193 \sqrt{193}}{2646}$ 。

$\frac{1261 - 193 \sqrt{193}}{2646}$

解题步骤 5

求在 $x = \frac{5 - \sqrt{193}}{42}$ 处的原函数 $f (x) = (7 x^{2} - 6 x + 1) (1 + 2 x)$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\frac{5 - \sqrt{193}}{42}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (7 {(\frac{5 - \sqrt{193}}{42})}^{2} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $\frac{5 - \sqrt{193}}{42}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (7 (\frac{{(5 - \sqrt{193})}^{2}}{42^{2}}) - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.2

对 $42$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (7 (\frac{{(5 - \sqrt{193})}^{2}}{1764}) - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.3

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.3.1

从 $1764$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (7 (\frac{{(5 - \sqrt{193})}^{2}}{7 (252)}) - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.3.2

约去公因数。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (7 (\frac{{(5 - \sqrt{193})}^{2}}{7 \cdot 252}) - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.3.3

重写表达式。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{{(5 - \sqrt{193})}^{2}}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.4

将 ${(5 - \sqrt{193})}^{2}$ 重写为 $(5 - \sqrt{193}) (5 - \sqrt{193})$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{(5 - \sqrt{193}) (5 - \sqrt{193})}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(5 - \sqrt{193}) (5 - \sqrt{193})$ 。

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解题步骤 5.2.1.5.1

运用分配律。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{5 (5 - \sqrt{193}) - \sqrt{193} (5 - \sqrt{193})}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.5.2

运用分配律。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{193}) - \sqrt{193} (5 - \sqrt{193})}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.5.3

运用分配律。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{193}) - \sqrt{193} \cdot 5 - \sqrt{193} (- \sqrt{193})}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.6.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 + 5 (- \sqrt{193}) - \sqrt{193} \cdot 5 - \sqrt{193} (- \sqrt{193})}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 - 5 \sqrt{193} - \sqrt{193} \cdot 5 - \sqrt{193} (- \sqrt{193})}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.1.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 - 5 \sqrt{193} - 5 \sqrt{193} - \sqrt{193} (- \sqrt{193})}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.1.4

乘以 $- \sqrt{193} (- \sqrt{193})$ 。

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解题步骤 5.2.1.6.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 - 5 \sqrt{193} - 5 \sqrt{193} + 1 \sqrt{193} \sqrt{193}}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.1.4.2

将 $\sqrt{193}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 - 5 \sqrt{193} - 5 \sqrt{193} + \sqrt{193} \sqrt{193}}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.1.4.3

对 $\sqrt{193}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 - 5 \sqrt{193} - 5 \sqrt{193} + \sqrt{193} \sqrt{193}}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.1.4.4

对 $\sqrt{193}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 - 5 \sqrt{193} - 5 \sqrt{193} + \sqrt{193} \sqrt{193}}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 - 5 \sqrt{193} - 5 \sqrt{193} + {\sqrt{193}}^{1 + 1}}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 - 5 \sqrt{193} - 5 \sqrt{193} + {\sqrt{193}}^{2}}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.1.5

将 ${\sqrt{193}}^{2}$ 重写为 $193$ 。

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解题步骤 5.2.1.6.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{193}$ 重写成 $193^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 - 5 \sqrt{193} - 5 \sqrt{193} + {(193^{\frac{1}{2}})}^{2}}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 - 5 \sqrt{193} - 5 \sqrt{193} + 193^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 - 5 \sqrt{193} - 5 \sqrt{193} + 193^{\frac{2}{2}}}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.6.1.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 - 5 \sqrt{193} - 5 \sqrt{193} + 193^{\frac{2}{2}}}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.1.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 - 5 \sqrt{193} - 5 \sqrt{193} + 193}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.1.5.5

计算指数。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{25 - 5 \sqrt{193} - 5 \sqrt{193} + 193}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.2

将 $25$ 和 $193$ 相加。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{218 - 5 \sqrt{193} - 5 \sqrt{193}}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.6.3

从 $- 5 \sqrt{193}$ 中减去 $5 \sqrt{193}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{218 - 10 \sqrt{193}}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.7

约去 $218 - 10 \sqrt{193}$ 和 $252$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.7.1

从 $218$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{2 (109) - 10 \sqrt{193}}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.7.2

从 $- 10 \sqrt{193}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{2 (109) + 2 (- 5 \sqrt{193})}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.7.3

从 $2 (109) + 2 (- 5 \sqrt{193})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{2 (109 - 5 \sqrt{193})}{252} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.7.4

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1.7.4.1

从 $252$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{2 (109 - 5 \sqrt{193})}{2 \cdot 126} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.7.4.2

约去公因数。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{2 (109 - 5 \sqrt{193})}{2 \cdot 126} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.7.4.3

重写表达式。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 - 5 \sqrt{193}}{126} - 6 \frac{5 - \sqrt{193}}{42} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.8

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.8.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 - 5 \sqrt{193}}{126} + 6 (- 1) (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.8.2

从 $42$ 中分解出因数 $6$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 - 5 \sqrt{193}}{126} + 6 \cdot (- 1 \frac{5 - \sqrt{193}}{6 \cdot 7}) + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.8.3

约去公因数。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 - 5 \sqrt{193}}{126} + 6 \cdot (- 1 \frac{5 - \sqrt{193}}{6 \cdot 7}) + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.8.4

重写表达式。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 - 5 \sqrt{193}}{126} - 1 \frac{5 - \sqrt{193}}{7} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.1.9

将 $- 1 \frac{5 - \sqrt{193}}{7}$ 重写为 $- \frac{5 - \sqrt{193}}{7}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 - 5 \sqrt{193}}{126} - \frac{5 - \sqrt{193}}{7} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.2

求公分母。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $\frac{5 - \sqrt{193}}{7}$ 乘以 $\frac{18}{18}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 - 5 \sqrt{193}}{126} - (\frac{5 - \sqrt{193}}{7} \cdot \frac{18}{18}) + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.2.2

将 $\frac{5 - \sqrt{193}}{7}$ 乘以 $\frac{18}{18}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 - 5 \sqrt{193}}{126} - \frac{(5 - \sqrt{193}) \cdot 18}{7 \cdot 18} + 1) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.2.3

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 - 5 \sqrt{193}}{126} - \frac{(5 - \sqrt{193}) \cdot 18}{7 \cdot 18} + \frac{1}{1}) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.2.4

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{126}{126}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 - 5 \sqrt{193}}{126} - \frac{(5 - \sqrt{193}) \cdot 18}{7 \cdot 18} + \frac{1}{1} \cdot \frac{126}{126}) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.2.5

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{126}{126}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 - 5 \sqrt{193}}{126} - \frac{(5 - \sqrt{193}) \cdot 18}{7 \cdot 18} + \frac{126}{126}) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.2.6

将 $7$ 乘以 $18$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = (\frac{109 - 5 \sqrt{193}}{126} - \frac{(5 - \sqrt{193}) \cdot 18}{126} + \frac{126}{126}) (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.3

化简项。

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解题步骤 5.2.3.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{109 - 5 \sqrt{193} - (5 - \sqrt{193}) \cdot 18 + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.3.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.2.1

运用分配律。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{109 - 5 \sqrt{193} + (- 1 \cdot 5 + \sqrt{193}) \cdot 18 + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{109 - 5 \sqrt{193} + (- 5 + \sqrt{193}) \cdot 18 + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.3.2.3

乘以 $- - \sqrt{193}$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{109 - 5 \sqrt{193} + (- 5 + 1 \sqrt{193}) \cdot 18 + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.3.2.3.2

将 $\sqrt{193}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{109 - 5 \sqrt{193} + (- 5 + \sqrt{193}) \cdot 18 + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.3.2.4

运用分配律。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{109 - 5 \sqrt{193} - 5 \cdot 18 + \sqrt{193} \cdot 18 + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.3.2.5

将 $- 5$ 乘以 $18$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{109 - 5 \sqrt{193} - 90 + \sqrt{193} \cdot 18 + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.3.2.6

将 $18$ 移到 $\sqrt{193}$ 的左侧。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{109 - 5 \sqrt{193} - 90 + 18 \sqrt{193} + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.3.3

化简项。

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解题步骤 5.2.3.3.1

从 $109$ 中减去 $90$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{19 - 5 \sqrt{193} + 18 \sqrt{193} + 126}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.3.3.2

将 $19$ 和 $126$ 相加。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 - 5 \sqrt{193} + 18 \sqrt{193}}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.3.3.3

将 $- 5 \sqrt{193}$ 和 $18 \sqrt{193}$ 相加。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 + 13 \sqrt{193}}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}))$

解题步骤 5.2.3.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.3.4.1

从 $42$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 + 13 \sqrt{193}}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{2 (21)}))$

解题步骤 5.2.3.3.4.2

约去公因数。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 + 13 \sqrt{193}}{126} \cdot (1 + 2 (\frac{5 - \sqrt{193}}{2 \cdot 21}))$

解题步骤 5.2.3.3.4.3

重写表达式。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 + 13 \sqrt{193}}{126} \cdot (1 + \frac{5 - \sqrt{193}}{21})$

解题步骤 5.2.3.3.5

化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.3.5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 + 13 \sqrt{193}}{126} \cdot (\frac{21}{21} + \frac{5 - \sqrt{193}}{21})$

解题步骤 5.2.3.3.5.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 + 13 \sqrt{193}}{126} \cdot \frac{21 + 5 - \sqrt{193}}{21}$

解题步骤 5.2.4

将 $21$ 和 $5$ 相加。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 + 13 \sqrt{193}}{126} \cdot \frac{26 - \sqrt{193}}{21}$

解题步骤 5.2.5

乘以 $\frac{145 + 13 \sqrt{193}}{126} \cdot \frac{26 - \sqrt{193}}{21}$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $\frac{145 + 13 \sqrt{193}}{126}$ 乘以 $\frac{26 - \sqrt{193}}{21}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{(145 + 13 \sqrt{193}) (26 - \sqrt{193})}{126 \cdot 21}$

解题步骤 5.2.5.2

将 $126$ 乘以 $21$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{(145 + 13 \sqrt{193}) (26 - \sqrt{193})}{2646}$

解题步骤 5.2.6

使用 FOIL 方法展开 $(145 + 13 \sqrt{193}) (26 - \sqrt{193})$ 。

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解题步骤 5.2.6.1

运用分配律。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 (26 - \sqrt{193}) + 13 \sqrt{193} (26 - \sqrt{193})}{2646}$

解题步骤 5.2.6.2

运用分配律。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 \cdot 26 + 145 (- \sqrt{193}) + 13 \sqrt{193} (26 - \sqrt{193})}{2646}$

解题步骤 5.2.6.3

运用分配律。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{145 \cdot 26 + 145 (- \sqrt{193}) + 13 \sqrt{193} \cdot 26 + 13 \sqrt{193} (- \sqrt{193})}{2646}$

解题步骤 5.2.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.7.1.1

将 $145$ 乘以 $26$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 + 145 (- \sqrt{193}) + 13 \sqrt{193} \cdot 26 + 13 \sqrt{193} (- \sqrt{193})}{2646}$

解题步骤 5.2.7.1.2

将 $- 1$ 乘以 $145$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 - 145 \sqrt{193} + 13 \sqrt{193} \cdot 26 + 13 \sqrt{193} (- \sqrt{193})}{2646}$

解题步骤 5.2.7.1.3

将 $26$ 乘以 $13$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 - 145 \sqrt{193} + 338 \sqrt{193} + 13 \sqrt{193} (- \sqrt{193})}{2646}$

解题步骤 5.2.7.1.4

乘以 $13 \sqrt{193} (- \sqrt{193})$ 。

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解题步骤 5.2.7.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $13$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 - 145 \sqrt{193} + 338 \sqrt{193} - 13 \sqrt{193} \sqrt{193}}{2646}$

解题步骤 5.2.7.1.4.2

对 $\sqrt{193}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 - 145 \sqrt{193} + 338 \sqrt{193} - 13 (\sqrt{193} \sqrt{193})}{2646}$

解题步骤 5.2.7.1.4.3

对 $\sqrt{193}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 - 145 \sqrt{193} + 338 \sqrt{193} - 13 (\sqrt{193} \sqrt{193})}{2646}$

解题步骤 5.2.7.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 - 145 \sqrt{193} + 338 \sqrt{193} - 13 {\sqrt{193}}^{1 + 1}}{2646}$

解题步骤 5.2.7.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 - 145 \sqrt{193} + 338 \sqrt{193} - 13 {\sqrt{193}}^{2}}{2646}$

解题步骤 5.2.7.1.5

将 ${\sqrt{193}}^{2}$ 重写为 $193$ 。

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解题步骤 5.2.7.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{193}$ 重写成 $193^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 - 145 \sqrt{193} + 338 \sqrt{193} - 13 {(193^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2646}$

解题步骤 5.2.7.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 - 145 \sqrt{193} + 338 \sqrt{193} - 13 \cdot 193^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2646}$

解题步骤 5.2.7.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 - 145 \sqrt{193} + 338 \sqrt{193} - 13 \cdot 193^{\frac{2}{2}}}{2646}$

解题步骤 5.2.7.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.7.1.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 - 145 \sqrt{193} + 338 \sqrt{193} - 13 \cdot 193^{\frac{2}{2}}}{2646}$

解题步骤 5.2.7.1.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 - 145 \sqrt{193} + 338 \sqrt{193} - 13 \cdot 193}{2646}$

解题步骤 5.2.7.1.5.5

计算指数。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 - 145 \sqrt{193} + 338 \sqrt{193} - 13 \cdot 193}{2646}$

解题步骤 5.2.7.1.6

将 $- 13$ 乘以 $193$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{3770 - 145 \sqrt{193} + 338 \sqrt{193} - 2509}{2646}$

解题步骤 5.2.7.2

从 $3770$ 中减去 $2509$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{1261 - 145 \sqrt{193} + 338 \sqrt{193}}{2646}$

解题步骤 5.2.7.3

将 $- 145 \sqrt{193}$ 和 $338 \sqrt{193}$ 相加。

$f (\frac{5 - \sqrt{193}}{42}) = \frac{1261 + 193 \sqrt{193}}{2646}$

解题步骤 5.2.8

最终答案为 $\frac{1261 + 193 \sqrt{193}}{2646}$ 。

$\frac{1261 + 193 \sqrt{193}}{2646}$

解题步骤 6

函数 $f (x) = (7 x^{2} - 6 x + 1) (1 + 2 x)$ 上的水平切线是 $y = \frac{1261 - 193 \sqrt{193}}{2646}, y = \frac{1261 + 193 \sqrt{193}}{2646}$ 。

$y = \frac{1261 - 193 \sqrt{193}}{2646}, y = \frac{1261 + 193 \sqrt{193}}{2646}$

解题步骤 7

微积分学 示例

微积分学示例