微积分学示例

$y = {(- x^{2} + 6 x - 5)}^{3}$

解题步骤 1

化简 ${(- x^{2} + 6 x - 5)}^{3}$ 。

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解题步骤 1.1

使用多项式定理。

$y = {(- x^{2})}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} (6 x) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2

化简项。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

对 $- x^{2}$ 运用乘积法则。

$y = {(- 1)}^{3} {(x^{2})}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} (6 x) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = - {(x^{2})}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} (6 x) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.3

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = - x^{2 \cdot 3} + 3 {(- x^{2})}^{2} (6 x) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = - x^{6} + 3 {(- x^{2})}^{2} (6 x) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$y = - x^{6} + 3 \cdot 6 {(- x^{2})}^{2} x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.5

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$y = - x^{6} + 18 {(- x^{2})}^{2} x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.6

对 $- x^{2}$ 运用乘积法则。

$y = - x^{6} + 18 ({(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}) x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - x^{6} + 18 (1 {(x^{2})}^{2}) x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.8

将 ${(x^{2})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = - x^{6} + 18 {(x^{2})}^{2} x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.9

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{2 \cdot 2} x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.9.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{4} x + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.10

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1.10.1

移动 $x$ 。

$y = - x^{6} + 18 (x \cdot x^{4}) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.10.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.2.1.10.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = - x^{6} + 18 (x^{1} x^{4}) + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.10.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = - x^{6} + 18 x^{1 + 4} + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.10.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} + 3 (- x^{2}) {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.11

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 x^{2} {(6 x)}^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.12

对 $6 x$ 运用乘积法则。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 x^{2} (6^{2} x^{2}) + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.13

使用乘法的交换性质重写。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 \cdot 6^{2} x^{2} x^{2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.14

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1.14.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 \cdot 6^{2} (x^{2} x^{2}) + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.14.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 \cdot 6^{2} x^{2 + 2} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.14.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 \cdot 6^{2} x^{4} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.15

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 3 \cdot 36 x^{4} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.16

将 $- 3$ 乘以 $36$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + {(6 x)}^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.17

对 $6 x$ 运用乘积法则。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 6^{3} x^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.18

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 {(- x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.19

对 $- x^{2}$ 运用乘积法则。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 ({(- 1)}^{2} {(x^{2})}^{2}) \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.20

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 (1 {(x^{2})}^{2}) \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.21

将 ${(x^{2})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.22

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.1.22.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 x^{2 \cdot 2} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.22.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} + 3 x^{4} \cdot - 5 + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.23

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 6 (- x^{2}) (6 x) \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.24

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1.24.1

移动 $x$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 6 (- (x \cdot x^{2})) \cdot 6 \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.24.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1.24.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 6 (- (x^{1} x^{2})) \cdot 6 \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.24.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 6 (- x^{1 + 2}) \cdot 6 \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.24.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 6 (- x^{3}) \cdot 6 \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.25

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} - 6 x^{3} \cdot 6 \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.26

将 $6$ 乘以 $- 6$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} - 36 x^{3} \cdot - 5 + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.27

将 $- 5$ 乘以 $- 36$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} + 3 {(6 x)}^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.28

对 $6 x$ 运用乘积法则。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} + 3 (6^{2} x^{2}) \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.29

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} + 3 (36 x^{2}) \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.30

将 $36$ 乘以 $3$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} + 108 x^{2} \cdot - 5 + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.31

将 $- 5$ 乘以 $108$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} + 3 (- x^{2}) {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.32

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 3 x^{2} {(- 5)}^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.33

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 3 x^{2} \cdot 25 + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.34

将 $25$ 乘以 $- 3$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 3 (6 x) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.35

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 18 x {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.36

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 18 x \cdot 25 + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.37

将 $25$ 乘以 $18$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 450 x + {(- 5)}^{3}$

解题步骤 1.2.1.38

对 $- 5$ 进行 $3$ 次方运算。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 108 x^{4} + 216 x^{3} - 15 x^{4} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 450 x - 125$

解题步骤 1.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $- 108 x^{4}$ 中减去 $15 x^{4}$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 216 x^{3} + 180 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 450 x - 125$

解题步骤 1.2.2.2

将 $216 x^{3}$ 和 $180 x^{3}$ 相加。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 540 x^{2} - 75 x^{2} + 450 x - 125$

解题步骤 1.2.2.3

从 $- 540 x^{2}$ 中减去 $75 x^{2}$ 。

$y = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$

解题步骤 2

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{6}] + \frac{d}{d x} [18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{6}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{6}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{6}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$- (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.2.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 x^{5} + \frac{d}{d x} [18 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [18 x^{5}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $18 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $18 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- 6 x^{5} + 18 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- 6 x^{5} + 18 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.3.3

将 $5$ 乘以 $18$ 。

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 123 x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 123 x^{4}]$ 。

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解题步骤 3.4.1

因为 $- 123$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 123 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 123 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 123 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 123 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.4.3

将 $4$ 乘以 $- 123$ 。

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + \frac{d}{d x} [396 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.5

计算 $\frac{d}{d x} [396 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.5.1

因为 $396$ 对于 $x$ 是常数，所以 $396 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $396 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 396 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 396 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.5.3

将 $3$ 乘以 $396$ 。

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 615 x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.6

计算 $\frac{d}{d x} [- 615 x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.6.1

因为 $- 615$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 615 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 615 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 615 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 615 (2 x) + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.6.3

将 $2$ 乘以 $- 615$ 。

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + \frac{d}{d x} [450 x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.7

计算 $\frac{d}{d x} [450 x]$ 。

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解题步骤 3.7.1

因为 $450$ 对于 $x$ 是常数，所以 $450 x$ 对 $x$ 的导数是 $450 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.7.3

将 $450$ 乘以 $1$ 。

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 + \frac{d}{d x} [- 125]$

解题步骤 3.8

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.8.1

因为 $- 125$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 125$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 + 0$

解题步骤 3.8.2

将 $- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450$ 和 $0$ 相加。

$- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 = 0$ 。

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解题步骤 4.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.1.1

从 $- 6 x^{5} + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

从 $- 6 x^{5}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (- x^{5}) + 90 x^{4} - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 = 0$

解题步骤 4.1.1.2

从 $90 x^{4}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4}) - 492 x^{3} + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 = 0$

解题步骤 4.1.1.3

从 $- 492 x^{3}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3}) + 1188 x^{2} - 1230 x + 450 = 0$

解题步骤 4.1.1.4

从 $1188 x^{2}$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2}) - 1230 x + 450 = 0$

解题步骤 4.1.1.5

从 $- 1230 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2}) + 6 (- 205 x) + 450 = 0$

解题步骤 4.1.1.6

从 $450$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2}) + 6 (- 205 x) + 6 (75) = 0$

解题步骤 4.1.1.7

从 $6 (- x^{5}) + 6 (15 x^{4})$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (- x^{5} + 15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2}) + 6 (- 205 x) + 6 (75) = 0$

解题步骤 4.1.1.8

从 $6 (- x^{5} + 15 x^{4}) + 6 (- 82 x^{3})$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2}) + 6 (- 205 x) + 6 (75) = 0$

解题步骤 4.1.1.9

从 $6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3}) + 6 (198 x^{2})$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2}) + 6 (- 205 x) + 6 (75) = 0$

解题步骤 4.1.1.10

从 $6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2}) + 6 (- 205 x)$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x) + 6 (75) = 0$

解题步骤 4.1.1.11

从 $6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x) + 6 (75)$ 中分解出因数 $6$ 。

$6 (- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x + 75) = 0$

解题步骤 4.1.2

使用有理根检验法因式分解 $- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x + 75$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

解题步骤 4.1.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

解题步骤 4.1.2.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$- 1^{5} + 15 \cdot 1^{4} - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

解题步骤 4.1.2.3.2

对 $1$ 进行 $5$ 次方运算。

$- 1 \cdot 1 + 15 \cdot 1^{4} - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

解题步骤 4.1.2.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 15 \cdot 1^{4} - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

解题步骤 4.1.2.3.4

对 $1$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 1 + 15 \cdot 1 - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

解题步骤 4.1.2.3.5

将 $15$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 15 - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

解题步骤 4.1.2.3.6

将 $- 1$ 和 $15$ 相加。

$14 - 82 \cdot 1^{3} + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

解题步骤 4.1.2.3.7

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$14 - 82 \cdot 1 + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

解题步骤 4.1.2.3.8

将 $- 82$ 乘以 $1$ 。

$14 - 82 + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

解题步骤 4.1.2.3.9

从 $14$ 中减去 $82$ 。

$- 68 + 198 \cdot 1^{2} - 205 \cdot 1 + 75$

解题步骤 4.1.2.3.10

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 68 + 198 \cdot 1 - 205 \cdot 1 + 75$

解题步骤 4.1.2.3.11

将 $198$ 乘以 $1$ 。

$- 68 + 198 - 205 \cdot 1 + 75$

解题步骤 4.1.2.3.12

将 $- 68$ 和 $198$ 相加。

$130 - 205 \cdot 1 + 75$

解题步骤 4.1.2.3.13

将 $- 205$ 乘以 $1$ 。

$130 - 205 + 75$

解题步骤 4.1.2.3.14

从 $130$ 中减去 $205$ 。

$- 75 + 75$

解题步骤 4.1.2.3.15

将 $- 75$ 和 $75$ 相加。

$0$

解题步骤 4.1.2.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x + 75}{x - 1}$

解题步骤 4.1.2.5

用 $- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x + 75$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 4.1.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

解题步骤 4.1.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $- x^{5}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$x^{4}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{5}$	+	$15 x^{4}$	-	$82 x^{3}$	+	$198 x^{2}$	-	$205 x$	+	$75$

解题步骤 4.1.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

解题步骤 4.1.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{5} + x^{4}$ 中的所有符号

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

解题步骤 4.1.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

解题步骤 4.1.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

解题步骤 4.1.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $14 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

解题步骤 4.1.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

解题步骤 4.1.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $14 x^{4} - 14 x^{3}$ 中的所有符号

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

解题步骤 4.1.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

解题步骤 4.1.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

解题步骤 4.1.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 68 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

解题步骤 4.1.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

解题步骤 4.1.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 68 x^{3} + 68 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

解题步骤 4.1.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

解题步骤 4.1.2.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

解题步骤 4.1.2.5.17

将被除数中的最高阶项 $130 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

解题步骤 4.1.2.5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

解题步骤 4.1.2.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $130 x^{2} - 130 x$ 中的所有符号

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

解题步骤 4.1.2.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

解题步骤 4.1.2.5.21

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

$75$

解题步骤 4.1.2.5.22

将被除数中的最高阶项 $- 75 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

$75$

解题步骤 4.1.2.5.23

将新的商式项乘以除数。

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

解题步骤 4.1.2.5.24

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 75 x + 75$ 中的所有符号

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

解题步骤 4.1.2.5.25

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{5}$

$15 x^{4}$

$82 x^{3}$

$198 x^{2}$

$205 x$

$75$

$x^{5}$

$x^{4}$

$14 x^{4}$

$82 x^{3}$

$14 x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{3}$

$198 x^{2}$

$68 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x^{2}$

$205 x$

$130 x^{2}$

$130 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

$0$

解题步骤 4.1.2.5.26

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75$

解题步骤 4.1.2.6

将 $- x^{5} + 15 x^{4} - 82 x^{3} + 198 x^{2} - 205 x + 75$ 书写为因数的集合。

$6 ((x - 1) (- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75)) = 0$

解题步骤 4.1.3

使用有理根检验法因式分解 $- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

解题步骤 4.1.3.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

解题步骤 4.1.3.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$- 1^{4} + 14 \cdot 1^{3} - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

解题步骤 4.1.3.3.2

对 $1$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 1 \cdot 1 + 14 \cdot 1^{3} - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

解题步骤 4.1.3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 14 \cdot 1^{3} - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

解题步骤 4.1.3.3.4

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 + 14 \cdot 1 - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

解题步骤 4.1.3.3.5

将 $14$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 14 - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

解题步骤 4.1.3.3.6

将 $- 1$ 和 $14$ 相加。

$13 - 68 \cdot 1^{2} + 130 \cdot 1 - 75$

解题步骤 4.1.3.3.7

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$13 - 68 \cdot 1 + 130 \cdot 1 - 75$

解题步骤 4.1.3.3.8

将 $- 68$ 乘以 $1$ 。

$13 - 68 + 130 \cdot 1 - 75$

解题步骤 4.1.3.3.9

从 $13$ 中减去 $68$ 。

$- 55 + 130 \cdot 1 - 75$

解题步骤 4.1.3.3.10

将 $130$ 乘以 $1$ 。

$- 55 + 130 - 75$

解题步骤 4.1.3.3.11

将 $- 55$ 和 $130$ 相加。

$75 - 75$

解题步骤 4.1.3.3.12

从 $75$ 中减去 $75$ 。

$0$

解题步骤 4.1.3.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75}{x - 1}$

解题步骤 4.1.3.5

用 $- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75$ 除以 $x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

解题步骤 4.1.3.5.2

将被除数中的最高阶项 $- x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$x^{3}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	+	$14 x^{3}$	-	$68 x^{2}$	+	$130 x$	-	$75$

解题步骤 4.1.3.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{3}$
$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	+	$14 x^{3}$	-	$68 x^{2}$	+	$130 x$	-	$75$
			-	$x^{4}$	+	$x^{3}$

解题步骤 4.1.3.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{4} + x^{3}$ 中的所有符号

			-	$x^{3}$
$x$	-	$1$	-	$x^{4}$	+	$14 x^{3}$	-	$68 x^{2}$	+	$130 x$	-	$75$
			+	$x^{4}$	-	$x^{3}$

解题步骤 4.1.3.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

解题步骤 4.1.3.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

解题步骤 4.1.3.5.7

将被除数中的最高阶项 $13 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

解题步骤 4.1.3.5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

解题步骤 4.1.3.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $13 x^{3} - 13 x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

解题步骤 4.1.3.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

解题步骤 4.1.3.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

解题步骤 4.1.3.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 55 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

解题步骤 4.1.3.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

解题步骤 4.1.3.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 55 x^{2} + 55 x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

解题步骤 4.1.3.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

解题步骤 4.1.3.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

$75$

解题步骤 4.1.3.5.17

将被除数中的最高阶项 $75 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

$75$

解题步骤 4.1.3.5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

解题步骤 4.1.3.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $75 x - 75$ 中的所有符号

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

解题步骤 4.1.3.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$75$

$x$

$1$

$x^{4}$

$14 x^{3}$

$68 x^{2}$

$130 x$

$75$

$x^{4}$

$x^{3}$

$13 x^{3}$

$68 x^{2}$

$13 x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x^{2}$

$130 x$

$55 x^{2}$

$55 x$

$75 x$

$75$

$75 x$

$75$

$0$

解题步骤 4.1.3.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75$

解题步骤 4.1.3.6

将 $- x^{4} + 14 x^{3} - 68 x^{2} + 130 x - 75$ 书写为因数的集合。

$6 ((x - 1) ((x - 1) (- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75))) = 0$

解题步骤 4.1.4

使用有理根检验法因式分解 $- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.4.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1$

解题步骤 4.1.4.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 75, \pm 3, \pm 25, \pm 5, \pm 15$

解题步骤 4.1.4.3

代入 $3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $3$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.4.3.1

将 $3$ 代入多项式。

$- 3^{3} + 13 \cdot 3^{2} - 55 \cdot 3 + 75$

解题步骤 4.1.4.3.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 \cdot 27 + 13 \cdot 3^{2} - 55 \cdot 3 + 75$

解题步骤 4.1.4.3.3

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$- 27 + 13 \cdot 3^{2} - 55 \cdot 3 + 75$

解题步骤 4.1.4.3.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 27 + 13 \cdot 9 - 55 \cdot 3 + 75$

解题步骤 4.1.4.3.5

将 $13$ 乘以 $9$ 。

$- 27 + 117 - 55 \cdot 3 + 75$

解题步骤 4.1.4.3.6

将 $- 27$ 和 $117$ 相加。

$90 - 55 \cdot 3 + 75$

解题步骤 4.1.4.3.7

将 $- 55$ 乘以 $3$ 。

$90 - 165 + 75$

解题步骤 4.1.4.3.8

从 $90$ 中减去 $165$ 。

$- 75 + 75$

解题步骤 4.1.4.3.9

将 $- 75$ 和 $75$ 相加。

$0$

解题步骤 4.1.4.4

因为 $3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75}{x - 3}$

解题步骤 4.1.4.5

用 $- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75$ 除以 $x - 3$ 。

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解题步骤 4.1.4.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$3$

$x^{3}$

$13 x^{2}$

$55 x$

$75$

解题步骤 4.1.4.5.2

将被除数中的最高阶项 $- x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$

解题步骤 4.1.4.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

解题步骤 4.1.4.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{3} + 3 x^{2}$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

解题步骤 4.1.4.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

解题步骤 4.1.4.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$

解题步骤 4.1.4.5.7

将被除数中的最高阶项 $10 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$

解题步骤 4.1.4.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					+	$10 x^{2}$	-	$30 x$

解题步骤 4.1.4.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $10 x^{2} - 30 x$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$

解题步骤 4.1.4.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$

解题步骤 4.1.4.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$x^{2}$	+	$10 x$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$	+	$75$

解题步骤 4.1.4.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 25 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$	+	$75$

解题步骤 4.1.4.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$	+	$75$
							-	$25 x$	+	$75$

解题步骤 4.1.4.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 25 x + 75$ 中的所有符号

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$	+	$75$
							+	$25 x$	-	$75$

解题步骤 4.1.4.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$x^{2}$	+	$10 x$	-	$25$
$x$	-	$3$	-	$x^{3}$	+	$13 x^{2}$	-	$55 x$	+	$75$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	-	$55 x$
					-	$10 x^{2}$	+	$30 x$
							-	$25 x$	+	$75$
							+	$25 x$	-	$75$
										$0$

解题步骤 4.1.4.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- x^{2} + 10 x - 25$

解题步骤 4.1.4.6

将 $- x^{3} + 13 x^{2} - 55 x + 75$ 书写为因数的集合。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- x^{2} + 10 x - 25)))) = 0$

解题步骤 4.1.5

分组因式分解。

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解题步骤 4.1.5.1

分组因式分解。

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解题步骤 4.1.5.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ 并且它们的和为 $b = 10$ 。

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解题步骤 4.1.5.1.1.1

从 $10 x$ 中分解出因数 $10$ 。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- x^{2} + 10 (x) - 25)))) = 0$

解题步骤 4.1.5.1.1.2

把 $10$ 重写为 $5$ 加 $5$

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- x^{2} + (5 + 5) x - 25)))) = 0$

解题步骤 4.1.5.1.1.3

运用分配律。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25)))) = 0$

解题步骤 4.1.5.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 4.1.5.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25)))) = 0$

解题步骤 4.1.5.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (x (- x + 5) - 5 (- x + 5))))) = 0$

解题步骤 4.1.5.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- x + 5$ 来因式分解多项式。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) ((- x + 5) (x - 5))))) = 0$

解题步骤 4.1.5.2

去掉多余的括号。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- x + 5) (x - 5)))) = 0$

解题步骤 4.1.6

合并指数。

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解题步骤 4.1.6.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- (x) + 5) (x - 5)))) = 0$

解题步骤 4.1.6.2

将 $5$ 重写为 $- 1 (- 5)$ 。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- (x) - 1 \cdot - 5) (x - 5)))) = 0$

解题步骤 4.1.6.3

从 $- (x) - 1 (- 5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- (x - 5)) (x - 5)))) = 0$

解题步骤 4.1.6.4

将 $- (x - 5)$ 重写为 $- 1 (x - 5)$ 。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) (- 1 (x - 5)) (x - 5)))) = 0$

解题步骤 4.1.6.5

去掉圆括号。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) \cdot (- 1 (x - 5) (x - 5))))) = 0$

解题步骤 4.1.6.6

对 $x - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) \cdot (- 1 ((x - 5) (x - 5)))))) = 0$

解题步骤 4.1.6.7

对 $x - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) \cdot (- 1 ((x - 5) (x - 5)))))) = 0$

解题步骤 4.1.6.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) \cdot (- 1 {(x - 5)}^{1 + 1})))) = 0$

解题步骤 4.1.6.9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$6 ((x - 1) ((x - 1) ((x - 3) \cdot (- 1 {(x - 5)}^{2})))) = 0$

解题步骤 4.1.7

因数。

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解题步骤 4.1.7.1

因数。

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解题步骤 4.1.7.1.1

提取负因数。

$6 ((x - 1) ((x - 1) (- ((x - 3) {(x - 5)}^{2})))) = 0$

解题步骤 4.1.7.1.2

去掉多余的括号。

$6 ((x - 1) ((x - 1) (- (x - 3) {(x - 5)}^{2}))) = 0$

解题步骤 4.1.7.2

去掉多余的括号。

$6 ((x - 1) ((x - 1) \cdot (- 1 (x - 3) {(x - 5)}^{2}))) = 0$

解题步骤 4.1.8

因数。

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解题步骤 4.1.8.1

因数。

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解题步骤 4.1.8.1.1

因数。

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解题步骤 4.1.8.1.1.1

提取负因数。

$6 ((x - 1) (- (((x - 1) (x - 3)) {(x - 5)}^{2}))) = 0$

解题步骤 4.1.8.1.1.2

去掉多余的括号。

$6 ((x - 1) (- (x - 1) (x - 3) {(x - 5)}^{2})) = 0$

解题步骤 4.1.8.1.2

去掉多余的括号。

$6 ((x - 1) \cdot (- 1 (x - 1) (x - 3) {(x - 5)}^{2})) = 0$

解题步骤 4.1.8.2

去掉多余的括号。

$6 (x - 1) \cdot (- 1 (x - 1) (x - 3) {(x - 5)}^{2}) = 0$

解题步骤 4.1.9

合并指数。

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解题步骤 4.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 6 (x - 1) (x - 1) (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 4.1.9.2

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 ((x - 1) (x - 1)) (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 4.1.9.3

对 $x - 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 ((x - 1) (x - 1)) (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 4.1.9.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 {(x - 1)}^{1 + 1} (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 4.1.9.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 6 {(x - 1)}^{2} (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

${(x - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 4.3

将 ${(x - 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 4.3.2

求解 $x$ 的 ${(x - 1)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 4.3.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 4.4

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 4.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 4.5

将 ${(x - 5)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 ${(x - 5)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 5)}^{2} = 0$

解题步骤 4.5.2

求解 $x$ 的 ${(x - 5)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.5.2.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 4.5.2.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 4.6

最终解为使 $- 6 {(x - 1)}^{2} (x - 3) {(x - 5)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, 3, 5$

解题步骤 5

求在 $x = 1$ 处的原函数 $f (x) = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = - {(1)}^{6} + 18 {(1)}^{5} - 123 {(1)}^{4} + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = - 1 \cdot 1 + 18 {(1)}^{5} - 123 {(1)}^{4} + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 1 + 18 {(1)}^{5} - 123 {(1)}^{4} + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

解题步骤 5.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f (1) = - 1 + 18 \cdot 1 - 123 {(1)}^{4} + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

解题步骤 5.2.1.4

将 $18$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 1 + 18 - 123 {(1)}^{4} + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

解题步骤 5.2.1.5

一的任意次幂都为一。

$f (1) = - 1 + 18 - 123 \cdot 1 + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

解题步骤 5.2.1.6

将 $- 123$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 {(1)}^{3} - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

解题步骤 5.2.1.7

一的任意次幂都为一。

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 \cdot 1 - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

解题步骤 5.2.1.8

将 $396$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 - 615 {(1)}^{2} + 450 (1) - 125$

解题步骤 5.2.1.9

一的任意次幂都为一。

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 - 615 \cdot 1 + 450 (1) - 125$

解题步骤 5.2.1.10

将 $- 615$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 - 615 + 450 (1) - 125$

解题步骤 5.2.1.11

将 $450$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 1 + 18 - 123 + 396 - 615 + 450 - 125$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- 1$ 和 $18$ 相加。

$f (1) = 17 - 123 + 396 - 615 + 450 - 125$

解题步骤 5.2.2.2

从 $17$ 中减去 $123$ 。

$f (1) = - 106 + 396 - 615 + 450 - 125$

解题步骤 5.2.2.3

将 $- 106$ 和 $396$ 相加。

$f (1) = 290 - 615 + 450 - 125$

解题步骤 5.2.2.4

从 $290$ 中减去 $615$ 。

$f (1) = - 325 + 450 - 125$

解题步骤 5.2.2.5

将 $- 325$ 和 $450$ 相加。

$f (1) = 125 - 125$

解题步骤 5.2.2.6

从 $125$ 中减去 $125$ 。

$f (1) = 0$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6

求在 $x = 3$ 处的原函数 $f (x) = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$ 。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = - {(3)}^{6} + 18 {(3)}^{5} - 123 {(3)}^{4} + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $3$ 进行 $6$ 次方运算。

$f (3) = - 1 \cdot 729 + 18 {(3)}^{5} - 123 {(3)}^{4} + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $729$ 。

$f (3) = - 729 + 18 {(3)}^{5} - 123 {(3)}^{4} + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

解题步骤 6.2.1.3

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (3) = - 729 + 18 \cdot 243 - 123 {(3)}^{4} + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

解题步骤 6.2.1.4

将 $18$ 乘以 $243$ 。

$f (3) = - 729 + 4374 - 123 {(3)}^{4} + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

解题步骤 6.2.1.5

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (3) = - 729 + 4374 - 123 \cdot 81 + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

解题步骤 6.2.1.6

将 $- 123$ 乘以 $81$ 。

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 396 {(3)}^{3} - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

解题步骤 6.2.1.7

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 396 \cdot 27 - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

解题步骤 6.2.1.8

将 $396$ 乘以 $27$ 。

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 10692 - 615 {(3)}^{2} + 450 (3) - 125$

解题步骤 6.2.1.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 10692 - 615 \cdot 9 + 450 (3) - 125$

解题步骤 6.2.1.10

将 $- 615$ 乘以 $9$ 。

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 10692 - 5535 + 450 (3) - 125$

解题步骤 6.2.1.11

将 $450$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = - 729 + 4374 - 9963 + 10692 - 5535 + 1350 - 125$

解题步骤 6.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $- 729$ 和 $4374$ 相加。

$f (3) = 3645 - 9963 + 10692 - 5535 + 1350 - 125$

解题步骤 6.2.2.2

从 $3645$ 中减去 $9963$ 。

$f (3) = - 6318 + 10692 - 5535 + 1350 - 125$

解题步骤 6.2.2.3

将 $- 6318$ 和 $10692$ 相加。

$f (3) = 4374 - 5535 + 1350 - 125$

解题步骤 6.2.2.4

从 $4374$ 中减去 $5535$ 。

$f (3) = - 1161 + 1350 - 125$

解题步骤 6.2.2.5

将 $- 1161$ 和 $1350$ 相加。

$f (3) = 189 - 125$

解题步骤 6.2.2.6

从 $189$ 中减去 $125$ 。

$f (3) = 64$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $64$ 。

$64$

解题步骤 7

求在 $x = 5$ 处的原函数 $f (x) = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = - {(5)}^{6} + 18 {(5)}^{5} - 123 {(5)}^{4} + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $5$ 进行 $6$ 次方运算。

$f (5) = - 1 \cdot 15625 + 18 {(5)}^{5} - 123 {(5)}^{4} + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

解题步骤 7.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $15625$ 。

$f (5) = - 15625 + 18 {(5)}^{5} - 123 {(5)}^{4} + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

解题步骤 7.2.1.3

对 $5$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (5) = - 15625 + 18 \cdot 3125 - 123 {(5)}^{4} + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

解题步骤 7.2.1.4

将 $18$ 乘以 $3125$ 。

$f (5) = - 15625 + 56250 - 123 {(5)}^{4} + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

解题步骤 7.2.1.5

对 $5$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (5) = - 15625 + 56250 - 123 \cdot 625 + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

解题步骤 7.2.1.6

将 $- 123$ 乘以 $625$ 。

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 396 {(5)}^{3} - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

解题步骤 7.2.1.7

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 396 \cdot 125 - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

解题步骤 7.2.1.8

将 $396$ 乘以 $125$ 。

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 49500 - 615 {(5)}^{2} + 450 (5) - 125$

解题步骤 7.2.1.9

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 49500 - 615 \cdot 25 + 450 (5) - 125$

解题步骤 7.2.1.10

将 $- 615$ 乘以 $25$ 。

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 49500 - 15375 + 450 (5) - 125$

解题步骤 7.2.1.11

将 $450$ 乘以 $5$ 。

$f (5) = - 15625 + 56250 - 76875 + 49500 - 15375 + 2250 - 125$

解题步骤 7.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $- 15625$ 和 $56250$ 相加。

$f (5) = 40625 - 76875 + 49500 - 15375 + 2250 - 125$

解题步骤 7.2.2.2

从 $40625$ 中减去 $76875$ 。

$f (5) = - 36250 + 49500 - 15375 + 2250 - 125$

解题步骤 7.2.2.3

将 $- 36250$ 和 $49500$ 相加。

$f (5) = 13250 - 15375 + 2250 - 125$

解题步骤 7.2.2.4

从 $13250$ 中减去 $15375$ 。

$f (5) = - 2125 + 2250 - 125$

解题步骤 7.2.2.5

将 $- 2125$ 和 $2250$ 相加。

$f (5) = 125 - 125$

解题步骤 7.2.2.6

从 $125$ 中减去 $125$ 。

$f (5) = 0$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 8

函数 $f (x) = - x^{6} + 18 x^{5} - 123 x^{4} + 396 x^{3} - 615 x^{2} + 450 x - 125$ 上的水平切线是 $y = 0, y = 64, y = 0$ 。

$y = 0, y = 64, y = 0$

解题步骤 9

微积分学 示例

微积分学示例