微积分学示例

$y = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 4 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$4 x^{3} - 8 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} - 8 x + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $4 x^{3} - 8 x$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} - 8 x$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 8 x = 0$ 。

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解题步骤 3.1

从 $4 x^{3} - 8 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

解题步骤 3.1.2

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

解题步骤 3.1.3

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

解题步骤 3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 3.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3.4

将 $x^{2} - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $x^{2} - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$x^{2} = 2$

解题步骤 3.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 3.4.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 3.4.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2}$

解题步骤 3.4.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 3.5

最终解为使 $4 x (x^{2} - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 4

求在 $x = 0$ 处的原函数 $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 4.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

解题步骤 4.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 1$

解题步骤 4.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 1$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 5

求在 $x = \sqrt{2}$ 处的原函数 $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 ${\sqrt{2}}^{4}$ 重写为 $2^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

解题步骤 5.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

解题步骤 5.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

解题步骤 5.2.1.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

解题步骤 5.2.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

解题步骤 5.2.1.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

解题步骤 5.2.1.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

解题步骤 5.2.1.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

解题步骤 5.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2} + 1$

解题步骤 5.2.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.2.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1$

解题步骤 5.2.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1$

解题步骤 5.2.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

解题步骤 5.2.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.3.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1$

解题步骤 5.2.1.3.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

解题步骤 5.2.1.3.5

计算指数。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2 + 1$

解题步骤 5.2.1.4

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8 + 1$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 1$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$f (\sqrt{2}) = - 3$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $- 3$ 。

$- 3$

解题步骤 6

函数 $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} + 1$ 上的水平切线是 $y = 1, y = - 3, y = - 3$ 。

$y = 1, y = - 3, y = - 3$

解题步骤 7

微积分学 示例

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