微积分学示例

$y = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x^{3} - 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x^{3} - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 x^{3} - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x^{3} - 6 x + 2 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $4 x^{3} - 6 x + 2$ 和 $0$ 相加。

$4 x^{3} - 6 x + 2$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 6 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.1.1

从 $4 x^{3} - 6 x + 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{3}) - 6 x + 2 = 0$

解题步骤 3.1.1.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x) + 2 = 0$

解题步骤 3.1.1.3

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x) + 2 (1) = 0$

解题步骤 3.1.1.4

从 $2 (2 x^{3}) + 2 (- 3 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{3} - 3 x) + 2 (1) = 0$

解题步骤 3.1.1.5

从 $2 (2 x^{3} - 3 x) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{3} - 3 x + 1) = 0$

解题步骤 3.1.2

因数。

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解题步骤 3.1.2.1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} - 3 x + 1$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 3.1.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5$

解题步骤 3.1.2.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.1.2.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$2 \cdot 1^{3} - 3 \cdot 1 + 1$

解题步骤 3.1.2.1.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 1$

解题步骤 3.1.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 - 3 \cdot 1 + 1$

解题步骤 3.1.2.1.3.4

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$2 - 3 + 1$

解题步骤 3.1.2.1.3.5

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$- 1 + 1$

解题步骤 3.1.2.1.3.6

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$0$

解题步骤 3.1.2.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} - 3 x + 1}{x - 1}$

解题步骤 3.1.2.1.5

用 $2 x^{3} - 3 x + 1$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

解题步骤 3.1.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$

解题步骤 3.1.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} - 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

解题步骤 3.1.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 3.1.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$

解题步骤 3.1.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 3.1.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 3.1.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$

解题步骤 3.1.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$	+	$2 x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

解题步骤 3.1.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$

解题步骤 3.1.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

解题步骤 3.1.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x + 1$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

解题步骤 3.1.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

解题步骤 3.1.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{2} + 2 x - 1$

解题步骤 3.1.2.1.6

将 $2 x^{3} - 3 x + 1$ 书写为因数的集合。

$2 ((x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 1)) = 0$

解题步骤 3.1.2.2

去掉多余的括号。

$2 (x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

解题步骤 3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

解题步骤 3.3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 3.4

将 $2 x^{2} + 2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $2 x^{2} + 2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $x$ 的 $2 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.4.2.2

将 $a = 2$ 、 $b = 2$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.3

化简。

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解题步骤 3.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.2.3.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.3.1.3

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.3.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.4.2.3.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 3.4.2.3.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.4.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.4.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.2.4.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.4.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.4.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.4.1.3

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.4.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.4.2.4.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 3.4.2.4.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.4.2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.4.2.4.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.4.2.4.6

从 $\sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 3.4.2.4.7

从 $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 3.4.2.4.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.4.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.4.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.2.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.4.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.5.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.5.1.3

将 $4$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.5.1.4

将 $12$ 重写为 $2^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.4.2.5.1.4.1

从 $12$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 3.4.2.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 3.4.2.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.4.2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.4.2.5.5

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.4.2.5.6

从 $- \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{3})}{2}$

解题步骤 3.4.2.5.7

从 $- 1 (1) - (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 3.4.2.5.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.4.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.5

最终解为使 $2 (x - 1) (2 x^{2} + 2 x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4

求在 $x = 1$ 处的原函数 $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = {(1)}^{4} - 3 {(1)}^{2} + 2 (1) - 1$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 3 {(1)}^{2} + 2 (1) - 1$

解题步骤 4.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 2 (1) - 1$

解题步骤 4.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 - 3 + 2 (1) - 1$

解题步骤 4.2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 1 - 3 + 2 - 1$

解题步骤 4.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f (1) = - 2 + 2 - 1$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f (1) = 0 - 1$

解题步骤 4.2.2.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f (1) = - 1$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 5

求在 $x = - \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 处的原函数 $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.2.1.1.1

对 $- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.1.2

对 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = 1 (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.3

将 $\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.5

使用二项式定理。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.6.1

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.2

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.5

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.6

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.7

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.8

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.9

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.10

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.2.1.6.10.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.10.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.10.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.10.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.6.10.4.1

约去公因数。

解题步骤 5.2.1.6.10.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.10.5

计算指数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.11

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.12

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.13

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.14

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.15

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{3}}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.16

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{27}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.17

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 5.2.1.6.17.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{9 (3)}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.17.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.18

从根式下提出各项。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- (3 \sqrt{3})) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.19

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- 3 \sqrt{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.20

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.21

对 $- \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.22

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.23

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.24

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.1.6.24.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.24.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.24.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.24.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.6.24.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.24.4.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1.6.24.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.24.4.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.24.4.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.24.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{2}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.6.25

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 9}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.7

将 $1$ 和 $18$ 相加。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{19 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3} + 9}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.8

将 $19$ 和 $9$ 相加。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{28 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.9

从 $- 4 \sqrt{3}$ 中减去 $12 \sqrt{3}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{28 - 16 \sqrt{3}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.10

约去 $28 - 16 \sqrt{3}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.10.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7) - 16 \sqrt{3}}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.10.2

从 $- 16 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.10.3

从 $4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{16} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.10.4

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1.10.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.10.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.10.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 {(- \frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.11

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.2.1.11.1

对 $- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2}) + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.11.2

对 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})) + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.12

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 (1 (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})) + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.13

将 $\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.14

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.15

将 ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.16

使用 FOIL 方法展开 $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 5.2.1.16.1

运用分配律。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.16.2

运用分配律。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.16.3

运用分配律。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1.17.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.17.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.1.2

将 $- \sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.1.4

乘以 $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 5.2.1.17.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.1.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.1.4.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.1.4.4

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.1.5

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.2.1.17.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.17.1.5.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.1.5.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.1.5.5

计算指数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.17.3

从 $- \sqrt{3}$ 中减去 $\sqrt{3}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{4 - 2 \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.18

约去 $4 - 2 \sqrt{3}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.18.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.18.2

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.18.3

从 $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.18.4

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1.18.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.18.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.18.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 - \sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.19

组合 $- 3$ 和 $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{- 3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.20

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{(3) (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.21

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.21.1

将 $- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{- (1 - \sqrt{3})}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.21.2

约去公因数。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{- (1 - \sqrt{3})}{2}) - 1$

解题步骤 5.2.1.21.3

重写表达式。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} - (1 - \sqrt{3}) - 1$

解题步骤 5.2.1.22

运用分配律。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} - 1 \cdot 1 + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.1.23

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} - 1 + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.1.24

乘以 $- - \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 5.2.1.24.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} - 1 + 1 \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.1.24.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} - 1 + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.2

要将 $- \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2}{2} - 1 + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $\frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{2 \cdot 2} - 1 + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3} - 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.5

化简分子。

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解题步骤 5.2.5.1

运用分配律。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3} + (- 3 \cdot 2 - 3 (- \sqrt{3})) \cdot 2}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.5.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3} + (- 6 - 3 (- \sqrt{3})) \cdot 2}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3} + (- 6 + 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.5.4

运用分配律。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3} - 6 \cdot 2 + 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.5.5

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3} - 12 + 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.5.6

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 - 4 \sqrt{3} - 12 + 6 \sqrt{3}}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.5.7

从 $7$ 中减去 $12$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 - 4 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.5.8

将 $- 4 \sqrt{3}$ 和 $6 \sqrt{3}$ 相加。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 + 2 \sqrt{3}}{4} - 1 + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 + 2 \sqrt{3}}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4} + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 + 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.8

化简表达式。

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解题步骤 5.2.8.1

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 + 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 4}{4} + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 + 2 \sqrt{3} - 4}{4} + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.8.3

从 $- 5$ 中减去 $4$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} - 1$

解题步骤 5.2.9

要将 $\sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4} - 1$

解题步骤 5.2.10

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{4} - 1$

解题步骤 5.2.11

化简表达式。

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解题步骤 5.2.11.1

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 4}{4} - 1$

解题步骤 5.2.11.2

重新排序 $\sqrt{3} \cdot 4$ 的因式。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}}{4} - 1$

解题步骤 5.2.12

将 $2 \sqrt{3}$ 和 $4 \sqrt{3}$ 相加。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 6 \sqrt{3}}{4} - 1$

解题步骤 5.2.13

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 6 \sqrt{3}}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 5.2.14

合并分数。

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解题步骤 5.2.14.1

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 6 \sqrt{3}}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.2.14.2

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 6 \sqrt{3} - 1 \cdot 4}{4}$

解题步骤 5.2.15

化简分子。

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解题步骤 5.2.15.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 + 6 \sqrt{3} - 4}{4}$

解题步骤 5.2.15.2

从 $- 9$ 中减去 $4$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 13 + 6 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 5.2.16

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.2.16.1

将 $- 13$ 重写为 $- 1 (13)$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 13 + 6 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 5.2.16.2

从 $6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 13 - (- 6 \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 5.2.16.3

从 $- 1 (13) - (- 6 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 (13 - 6 \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 5.2.16.4

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{13 - 6 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 5.2.17

最终答案为 $- \frac{13 - 6 \sqrt{3}}{4}$ 。

$- \frac{13 - 6 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 6

求在 $x = - \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 处的原函数 $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ 。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.1.1

对 $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = {(- 1)}^{4} {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{4} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.1.2

对 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = {(- 1)}^{4} (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = 1 (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}) - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.3

将 $\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.4

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.5

使用二项式定理。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.6.1

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.2

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \cdot (1 \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.4

一的任意次幂都为一。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.5

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.6.6.4.1

约去公因数。

解题步骤 6.2.1.6.6.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.6.5

计算指数。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.7

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.8

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {\sqrt{3}}^{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.9

将 ${\sqrt{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{3^{3}}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{3}} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.10

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{27} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.11

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 6.2.1.6.11.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{9 (3)} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.11.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.12

从根式下提出各项。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (3 \sqrt{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.13

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.14

将 ${\sqrt{3}}^{4}$ 重写为 $3^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.6.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.14.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.6.14.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.14.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.1.6.14.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.14.4.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.14.4.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.14.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{2}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.6.15

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 9}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.7

将 $1$ 和 $18$ 相加。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{19 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3} + 9}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.8

将 $19$ 和 $9$ 相加。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{28 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.9

将 $4 \sqrt{3}$ 和 $12 \sqrt{3}$ 相加。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{28 + 16 \sqrt{3}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.10

约去 $28 + 16 \sqrt{3}$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.10.1

从 $28$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7) + 16 \sqrt{3}}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.10.2

从 $16 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7) + 4 (4 \sqrt{3})}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.10.3

从 $4 (7) + 4 (4 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{16} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.10.4

约去公因数。

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解题步骤 6.2.1.10.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.10.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.10.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 {(- \frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.11

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 6.2.1.11.1

对 $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2}) + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.11.2

对 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})) + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.12

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 (1 (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}})) + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.13

将 $\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.14

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.15

将 ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ 重写为 $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.16

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 6.2.1.16.1

运用分配律。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.16.2

运用分配律。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.16.3

运用分配律。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.17

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1.17.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.17.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.17.1.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.17.1.3

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.17.1.4

使用根数乘积法则进行合并。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.17.1.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.17.1.6

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.17.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.17.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.17.3

将 $\sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.18

约去 $4 + 2 \sqrt{3}$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.18.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.18.2

从 $2 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.18.3

从 $2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.18.4

约去公因数。

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解题步骤 6.2.1.18.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 (2)} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.18.4.2

约去公因数。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.18.4.3

重写表达式。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - 3 \frac{2 + \sqrt{3}}{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.19

组合 $- 3$ 和 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{- 3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.20

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{(3) (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.21

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.21.1

将 $- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{- (1 + \sqrt{3})}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.21.2

约去公因数。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{- (1 + \sqrt{3})}{2}) - 1$

解题步骤 6.2.1.21.3

重写表达式。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} - (1 + \sqrt{3}) - 1$

解题步骤 6.2.1.22

运用分配律。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} - 1 \cdot 1 - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.1.23

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} - 1 - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.2

要将 $- \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2}{2} - 1 - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $\frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{2 \cdot 2} - 1 - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} - \frac{3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3} - 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.5

化简分子。

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解题步骤 6.2.5.1

运用分配律。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3} + (- 3 \cdot 2 - 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.5.2

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3} + (- 6 - 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.5.3

运用分配律。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3} - 6 \cdot 2 - 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.5.4

将 $- 6$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3} - 12 - 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.5.5

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{7 + 4 \sqrt{3} - 12 - 6 \sqrt{3}}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.5.6

从 $7$ 中减去 $12$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 + 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.5.7

从 $4 \sqrt{3}$ 中减去 $6 \sqrt{3}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 - 2 \sqrt{3}}{4} - 1 - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 - 2 \sqrt{3}}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4} - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 - 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.8

化简表达式。

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解题步骤 6.2.8.1

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 - 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 4}{4} - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 5 - 2 \sqrt{3} - 4}{4} - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.8.3

从 $- 5$ 中减去 $4$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 2 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} - 1$

解题步骤 6.2.9

要将 $- \sqrt{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 2 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4} - 1$

解题步骤 6.2.10

合并分数。

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解题步骤 6.2.10.1

组合 $- \sqrt{3}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 4}{4} - 1$

解题步骤 6.2.10.2

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 4}{4} - 1$

解题步骤 6.2.11

化简分子。

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解题步骤 6.2.11.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3}}{4} - 1$

解题步骤 6.2.11.2

从 $- 2 \sqrt{3}$ 中减去 $4 \sqrt{3}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 6 \sqrt{3}}{4} - 1$

解题步骤 6.2.12

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 6 \sqrt{3}}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 6.2.13

合并分数。

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解题步骤 6.2.13.1

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 6 \sqrt{3}}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

解题步骤 6.2.13.2

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 6 \sqrt{3} - 1 \cdot 4}{4}$

解题步骤 6.2.14

化简分子。

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解题步骤 6.2.14.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 9 - 6 \sqrt{3} - 4}{4}$

解题步骤 6.2.14.2

从 $- 9$ 中减去 $4$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 13 - 6 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 6.2.15

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 6.2.15.1

将 $- 13$ 重写为 $- 1 (13)$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 13 - 6 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 6.2.15.2

从 $- 6 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 13 - (6 \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 6.2.15.3

从 $- 1 (13) - (6 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 (13 + 6 \sqrt{3})}{4}$

解题步骤 6.2.15.4

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{13 + 6 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 6.2.16

最终答案为 $- \frac{13 + 6 \sqrt{3}}{4}$ 。

$- \frac{13 + 6 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 7

函数 $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2 x - 1$ 上的水平切线是 $y = - 1, y = - \frac{13 - 6 \sqrt{3}}{4}, y = - \frac{13 + 6 \sqrt{3}}{4}$ 。

$y = - 1, y = - \frac{13 - 6 \sqrt{3}}{4}, y = - \frac{13 + 6 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 8

微积分学 示例

微积分学示例