微积分学示例

$y = 12 \sqrt{x}$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = 12 \sqrt{x}$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [12 x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x^{\frac{1}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ 。

$12 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$12 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$12 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$12 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.6

在公分母上合并分子。

$12 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 2.7

化简分子。

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解题步骤 2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$12 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 2.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$12 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 2.8

将负号移到分数的前面。

$12 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 2.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{- \frac{1}{2}}$ 。

$12 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2.10

组合 $12$ 和 $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{12 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{12}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.12

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.13

约去公因数。

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解题步骤 2.13.1

从 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 6}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 2.13.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 6}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.13.3

重写表达式。

$\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 3.1

将分子设为等于零。

$6 = 0$

解题步骤 3.2

因为 $6 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 4

使导数等于 $0$ 时 $\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ 无解，所以不存在水平切线。

找不到水平切线

解题步骤 5

微积分学 示例

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