微积分学示例

$y = 1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$

解题步骤 1

化简 $1 + 40 x^{3} - 3 x^{5}$ 。

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解题步骤 1.1

移动 $1$ 。

$y = 40 x^{3} - 3 x^{5} + 1$

解题步骤 1.2

将 $40 x^{3}$ 和 $- 3 x^{5}$ 重新排序。

$y = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

解题步骤 2

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{5}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 。

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$- 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.2.3

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$- 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [40 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [40 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $40$ 对于 $x$ 是常数，所以 $40 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $40 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 15 x^{4} + 40 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 15 x^{4} + 40 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.3.3

将 $3$ 乘以 $40$ 。

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 15 x^{4} + 120 x^{2} + 0$

解题步骤 3.4.2

将 $- 15 x^{4} + 120 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 15 x^{4} + 120 x^{2}$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 15 x^{4} + 120 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.1.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 120 x^{2} = 0$

解题步骤 4.1.2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- 15 u^{2} + 120 u = 0$

解题步骤 4.1.3

从 $- 15 u^{2} + 120 u$ 中分解出因数 $15 u$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

从 $- 15 u^{2}$ 中分解出因数 $15 u$ 。

$15 u (- u) + 120 u = 0$

解题步骤 4.1.3.2

从 $120 u$ 中分解出因数 $15 u$ 。

$15 u (- u) + 15 u (8) = 0$

解题步骤 4.1.3.3

从 $15 u (- u) + 15 u (8)$ 中分解出因数 $15 u$ 。

$15 u (- u + 8) = 0$

解题步骤 4.1.4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$

解题步骤 4.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 8 = 0$

解题步骤 4.3

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 4.3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 4.3.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 4.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 4.3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 4.3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.4

将 $- x^{2} + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $- x^{2} + 8$ 设为等于 $0$ 。

$- x^{2} + 8 = 0$

解题步骤 4.4.2

求解 $x$ 的 $- x^{2} + 8 = 0$ 。

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解题步骤 4.4.2.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$- x^{2} = - 8$

解题步骤 4.4.2.2

将 $- x^{2} = - 8$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.4.2.2.1

将 $- x^{2} = - 8$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 4.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.4.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 4.4.2.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 8}{- 1}$

解题步骤 4.4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.2.3.1

用 $- 8$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 8$

解题步骤 4.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{8}$

解题步骤 4.4.2.4

化简 $\pm \sqrt{8}$ 。

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解题步骤 4.4.2.4.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.4.2.4.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \pm \sqrt{4 (2)}$

解题步骤 4.4.2.4.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

解题步骤 4.4.2.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm 2 \sqrt{2}$

解题步骤 4.4.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.4.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 \sqrt{2}$

解题步骤 4.4.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 4.4.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 4.5

最终解为使 $15 x^{2} (- x^{2} + 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2}$

解题步骤 5

求在 $x = 0$ 处的原函数 $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = - 3 {(0)}^{5} + 40 {(0)}^{3} + 1$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = - 3 \cdot 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 40 {(0)}^{3} + 1$

解题步骤 5.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 40 \cdot 0 + 1$

解题步骤 5.2.1.4

将 $40$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

解题步骤 5.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 1$

解题步骤 5.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 1$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6

求在 $x = 2 \sqrt{2}$ 处的原函数 $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ 。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $2 \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 {(2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (2^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 6.2.1.2

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 6.2.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{2^{5}}$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 6.2.1.4

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{32}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 6.2.1.5

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.2.1.5.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 6.2.1.5.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 6.2.1.6

从根式下提出各项。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 6.2.1.7

将 $4$ 乘以 $32$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = - 3 (128 \sqrt{2}) + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 6.2.1.8

将 $128$ 乘以 $- 3$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 {(2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 6.2.1.9

对 $2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (2^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

解题步骤 6.2.1.10

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

解题步骤 6.2.1.11

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

解题步骤 6.2.1.12

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{8}) + 1$

解题步骤 6.2.1.13

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 6.2.1.13.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

解题步骤 6.2.1.13.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

解题步骤 6.2.1.14

从根式下提出各项。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (8 (2 \sqrt{2})) + 1$

解题步骤 6.2.1.15

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 40 (16 \sqrt{2}) + 1$

解题步骤 6.2.1.16

将 $16$ 乘以 $40$ 。

$f (2 \sqrt{2}) = - 384 \sqrt{2} + 640 \sqrt{2} + 1$

解题步骤 6.2.2

将 $- 384 \sqrt{2}$ 和 $640 \sqrt{2}$ 相加。

$f (2 \sqrt{2}) = 256 \sqrt{2} + 1$

解题步骤 6.2.3

最终答案为 $256 \sqrt{2} + 1$ 。

$256 \sqrt{2} + 1$

解题步骤 7

求在 $x = - 2 \sqrt{2}$ 处的原函数 $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $- 2 \sqrt{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 {(- 2 \sqrt{2})}^{5} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $- 2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 ({(- 2)}^{5} {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 7.2.1.2

对 $- 2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 {\sqrt{2}}^{5}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 7.2.1.3

将 ${\sqrt{2}}^{5}$ 重写为 $\sqrt{2^{5}}$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{2^{5}}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 7.2.1.4

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{32}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 7.2.1.5

将 $32$ 重写为 $4^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 7.2.1.5.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{16 (2)}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 7.2.1.5.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 \sqrt{4^{2} \cdot 2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 7.2.1.6

从根式下提出各项。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 32 (4 \sqrt{2})) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 7.2.1.7

将 $4$ 乘以 $- 32$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 3 (- 128 \sqrt{2}) + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 7.2.1.8

将 $- 128$ 乘以 $- 3$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 {(- 2 \sqrt{2})}^{3} + 1$

解题步骤 7.2.1.9

对 $- 2 \sqrt{2}$ 运用乘积法则。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 ({(- 2)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

解题步骤 7.2.1.10

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 {\sqrt{2}}^{3}) + 1$

解题步骤 7.2.1.11

将 ${\sqrt{2}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{2^{3}}$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{3}}) + 1$

解题步骤 7.2.1.12

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{8}) + 1$

解题步骤 7.2.1.13

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 7.2.1.13.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{4 (2)}) + 1$

解题步骤 7.2.1.13.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 \sqrt{2^{2} \cdot 2}) + 1$

解题步骤 7.2.1.14

从根式下提出各项。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 8 (2 \sqrt{2})) + 1$

解题步骤 7.2.1.15

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} + 40 (- 16 \sqrt{2}) + 1$

解题步骤 7.2.1.16

将 $- 16$ 乘以 $40$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 384 \sqrt{2} - 640 \sqrt{2} + 1$

解题步骤 7.2.2

从 $384 \sqrt{2}$ 中减去 $640 \sqrt{2}$ 。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 256 \sqrt{2} + 1$

解题步骤 7.2.3

最终答案为 $- 256 \sqrt{2} + 1$ 。

$- 256 \sqrt{2} + 1$

解题步骤 8

函数 $f (x) = - 3 x^{5} + 40 x^{3} + 1$ 上的水平切线是 $y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$ 。

$y = 1, y = 256 \sqrt{2} + 1, y = - 256 \sqrt{2} + 1$

解题步骤 9

微积分学 示例

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