微积分学示例

$y = 6 x - x^{2}$

解题步骤 1

将 $6 x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$y = - x^{2} + 6 x$

解题步骤 2

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = - x^{2} + 6 x$

解题步骤 3

求导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $- x^{2} + 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 3.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 x + 6 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x + 6$

解题步骤 4

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 x + 6 = 0$ 。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$- 2 x = - 6$

解题步骤 4.2

将 $- 2 x = - 6$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 2 x = - 6$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 6}{- 2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 6}{- 2}$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

用 $- 6$ 除以 $- 2$ 。

$x = 3$

解题步骤 5

求在 $x = 3$ 处的原函数 $f (x) = - x^{2} + 6 x$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = - {(3)}^{2} + 6 (3)$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 6 (3)$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f (3) = - 9 + 6 (3)$

解题步骤 5.2.1.3

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = - 9 + 18$

解题步骤 5.2.2

将 $- 9$ 和 $18$ 相加。

$f (3) = 9$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $9$ 。

$9$

解题步骤 6

函数 $f (x) = - x^{2} + 6 x$ 的水平切线为 $y = 9$ 。

$y = 9$

解题步骤 7

微积分学 示例

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