微积分学示例

$y = \sin (x)$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = \sin (x)$

解题步骤 2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\cos (x) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 3.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 3.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.4.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 3.4.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 3.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 3.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.7

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

求在 $x = \frac{π}{2}$ 处的原函数 $f (x) = \sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 4.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 1$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 5

求在 $x = \frac{π}{2} + π$ 处的原函数 $f (x) = \sin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2} + π$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π)$

解题步骤 5.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

解题步骤 5.2.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

解题步骤 5.2.2.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

解题步骤 5.2.3.2

将 $π$ 和 $2 π$ 相加。

$f (\frac{π}{2} + π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 5.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{π}{2} + π) = - \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 5.2.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1 \cdot 1$

解题步骤 5.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

解题步骤 5.2.7

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 6

函数 $f (x) = \sin (x)$ 的水平切线为 $y = 1, y = - 1$ 。

$y = 1, y = - 1$

解题步骤 7

微积分学 示例

微积分学示例