微积分学示例

$y = \sin (5 x) + \cos (2 x)$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\sin (5 x) + \cos (2 x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 5 x$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $5 x$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.1.3

使用 $5 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.2

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (5 x) (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.4

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$\cos (5 x) \cdot 5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 2.2.5

将 $5$ 移到 $\cos (5 x)$ 的左侧。

$5 \cos (5 x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$5 \cos (5 x) + \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3.1.2

$\cos (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $- \sin (u_{2})$ 。

$5 \cos (5 x) - \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 2.3.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 2.3.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$5 \cos (5 x) - \sin (2 x) \cdot 2$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$5 \cos (5 x) - 2 \sin (2 x)$

解题步骤 3

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx 0.27239707, - 0.36860767, - 0.86117382, 1.01576505, - 1.57079632, 1.57079632, 2.12582759$

解题步骤 4

求在 $x = 0.27239707$ 处的原函数 $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0.27239707$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.27239707) = \sin (5 (0.27239707)) + \cos (2 (0.27239707))$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $5$ 乘以 $0.27239707$ 。

$f (0.27239707) = \sin (1.36198538) + \cos (2 (0.27239707))$

解题步骤 4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0.27239707$ 。

$f (0.27239707) = \sin (1.36198538) + \cos (0.54479415)$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $\sin (1.36198538) + \cos (0.54479415)$ 。

$\sin (1.36198538) + \cos (0.54479415)$

解题步骤 5

求在 $x = - 0.36860767$ 处的原函数 $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $- 0.36860767$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 0.36860767) = \sin (5 (- 0.36860767)) + \cos (2 (- 0.36860767))$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $5$ 乘以 $- 0.36860767$ 。

$f (- 0.36860767) = \sin (- 1.84303835) + \cos (2 (- 0.36860767))$

解题步骤 5.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 0.36860767$ 。

$f (- 0.36860767) = \sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534)$

解题步骤 5.2.2

最终答案为 $\sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534)$ 。

$\sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534)$

解题步骤 6

求在 $x = - 0.86117382$ 处的原函数 $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 6.1

使用表达式中的 $- 0.86117382$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 0.86117382) = \sin (5 (- 0.86117382)) + \cos (2 (- 0.86117382))$

解题步骤 6.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $5$ 乘以 $- 0.86117382$ 。

$f (- 0.86117382) = \sin (- 4.3058691) + \cos (2 (- 0.86117382))$

解题步骤 6.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 0.86117382$ 。

$f (- 0.86117382) = \sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764)$

解题步骤 6.2.2

最终答案为 $\sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764)$ 。

$\sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764)$

解题步骤 7

求在 $x = 1.01576505$ 处的原函数 $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 7.1

使用表达式中的 $1.01576505$ 替换变量 $x$ 。

$f (1.01576505) = \sin (5 (1.01576505)) + \cos (2 (1.01576505))$

解题步骤 7.2

化简结果。

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解题步骤 7.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.1.1

将 $5$ 乘以 $1.01576505$ 。

$f (1.01576505) = \sin (5.07882527) + \cos (2 (1.01576505))$

解题步骤 7.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1.01576505$ 。

$f (1.01576505) = \sin (5.07882527) + \cos (2.0315301)$

解题步骤 7.2.2

最终答案为 $\sin (5.07882527) + \cos (2.0315301)$ 。

$\sin (5.07882527) + \cos (2.0315301)$

解题步骤 8

求在 $x = - 1.57079632$ 处的原函数 $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 8.1

使用表达式中的 $- 1.57079632$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1.57079632) = \sin (5 (- 1.57079632)) + \cos (2 (- 1.57079632))$

解题步骤 8.2

化简结果。

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解题步骤 8.2.1

化简每一项。

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解题步骤 8.2.1.1

将 $5$ 乘以 $- 1.57079632$ 。

$f (- 1.57079632) = \sin (- 7.85398163) + \cos (2 (- 1.57079632))$

解题步骤 8.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 1.57079632$ 。

$f (- 1.57079632) = \sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265)$

解题步骤 8.2.2

最终答案为 $\sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265)$ 。

$\sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265)$

解题步骤 9

求在 $x = 1.57079632$ 处的原函数 $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 9.1

使用表达式中的 $1.57079632$ 替换变量 $x$ 。

$f (1.57079632) = \sin (5 (1.57079632)) + \cos (2 (1.57079632))$

解题步骤 9.2

化简结果。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

将 $5$ 乘以 $1.57079632$ 。

$f (1.57079632) = \sin (7.85398163) + \cos (2 (1.57079632))$

解题步骤 9.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1.57079632$ 。

$f (1.57079632) = \sin (7.85398163) + \cos (3.14159265)$

解题步骤 9.2.2

最终答案为 $\sin (7.85398163) + \cos (3.14159265)$ 。

$\sin (7.85398163) + \cos (3.14159265)$

解题步骤 10

求在 $x = 2.12582759$ 处的原函数 $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ 。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $2.12582759$ 替换变量 $x$ 。

$f (2.12582759) = \sin (5 (2.12582759)) + \cos (2 (2.12582759))$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

将 $5$ 乘以 $2.12582759$ 。

$f (2.12582759) = \sin (10.62913799) + \cos (2 (2.12582759))$

解题步骤 10.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2.12582759$ 。

$f (2.12582759) = \sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$

解题步骤 10.2.2

最终答案为 $\sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$ 。

$\sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$

解题步骤 11

函数 $f (x) = \sin (5 x) + \cos (2 x)$ 上的水平切线是 $y = \sin (1.36198538) + \cos (0.54479415), y = \sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534), y = \sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764), y = \sin (5.07882527) + \cos (2.0315301), y = \sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265), y = \sin (7.85398163) + \cos (3.14159265), y = \sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$ 。

$y = \sin (1.36198538) + \cos (0.54479415), y = \sin (- 1.84303835) + \cos (- 0.73721534), y = \sin (- 4.3058691) + \cos (- 1.72234764), y = \sin (5.07882527) + \cos (2.0315301), y = \sin (- 7.85398163) + \cos (- 3.14159265), y = \sin (7.85398163) + \cos (3.14159265), y = \sin (10.62913799) + \cos (4.25165519)$

解题步骤 12

微积分学 示例

微积分学示例