微积分学示例

$y = 7 x^{2} + 5 x$

解题步骤 1

将 $y$ 表示成 $x$ 的函数。

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x$

解题步骤 2

求导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $7 x^{2} + 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$7 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$14 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [5 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$14 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$14 x + 5 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$14 x + 5$

解题步骤 3

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $14 x + 5 = 0$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$14 x = - 5$

解题步骤 3.2

将 $14 x = - 5$ 中的每一项除以 $14$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $14 x = - 5$ 中的每一项都除以 $14$ 。

$\frac{14 x}{14} = \frac{- 5}{14}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $14$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{14 x}{14} = \frac{- 5}{14}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 5}{14}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{5}{14}$

解题步骤 4

求在 $x = - \frac{5}{14}$ 处的原函数 $f (x) = 7 x^{2} + 5 x$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $- \frac{5}{14}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{5}{14}) = 7 {(- \frac{5}{14})}^{2} + 5 (- \frac{5}{14})$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 4.2.1.1.1

对 $- \frac{5}{14}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{5}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{14})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{14})$

解题步骤 4.2.1.1.2

对 $\frac{5}{14}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{5}{14}) = 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2}}{14^{2}})) + 5 (- \frac{5}{14})$

解题步骤 4.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (1 (\frac{5^{2}}{14^{2}})) + 5 (- \frac{5}{14})$

解题步骤 4.2.1.3

将 $\frac{5^{2}}{14^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{5^{2}}{14^{2}}) + 5 (- \frac{5}{14})$

解题步骤 4.2.1.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{14^{2}}) + 5 (- \frac{5}{14})$

解题步骤 4.2.1.5

对 $14$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{196}) + 5 (- \frac{5}{14})$

解题步骤 4.2.1.6

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.6.1

从 $196$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{7 (28)}) + 5 (- \frac{5}{14})$

解题步骤 4.2.1.6.2

约去公因数。

$f (- \frac{5}{14}) = 7 (\frac{25}{7 \cdot 28}) + 5 (- \frac{5}{14})$

解题步骤 4.2.1.6.3

重写表达式。

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} + 5 (- \frac{5}{14})$

解题步骤 4.2.1.7

乘以 $5 (- \frac{5}{14})$ 。

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解题步骤 4.2.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - 5 (\frac{5}{14})$

解题步骤 4.2.1.7.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{5}{14}$ 。

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} + \frac{- 5 \cdot 5}{14}$

解题步骤 4.2.1.7.3

将 $- 5$ 乘以 $5$ 。

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} + \frac{- 25}{14}$

解题步骤 4.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25}{14}$

解题步骤 4.2.2

要将 $- \frac{25}{14}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25}{14} \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 4.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $28$ 的形式。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $\frac{25}{14}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25 \cdot 2}{14 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $14$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25}{28} - \frac{25 \cdot 2}{28}$

解题步骤 4.2.4

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25 - 25 \cdot 2}{28}$

解题步骤 4.2.5

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $- 25$ 乘以 $2$ 。

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{25 - 50}{28}$

解题步骤 4.2.5.2

从 $25$ 中减去 $50$ 。

$f (- \frac{5}{14}) = \frac{- 25}{28}$

解题步骤 4.2.6

将负号移到分数的前面。

$f (- \frac{5}{14}) = - \frac{25}{28}$

解题步骤 4.2.7

最终答案为 $- \frac{25}{28}$ 。

$- \frac{25}{28}$

解题步骤 5

函数 $f (x) = 7 x^{2} + 5 x$ 的水平切线为 $y = - \frac{25}{28}$ 。

$y = - \frac{25}{28}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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