微积分学示例

$x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 9$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 5$ 。

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 7 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 10 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 10 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 7$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 10 x - 7 + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 10 x - 7 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $3 x^{2} - 10 x - 7$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 10 x - 7$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 10 x - 7 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.2

将 $a = 3$ 、 $b = - 10$ 和 $c = - 7$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 7)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.3.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 7$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 7$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 84}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.1.3

将 $100$ 和 $84$ 相加。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{184}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.1.4

将 $184$ 重写为 $2^{2} \cdot 46$ 。

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解题步骤 2.3.1.4.1

从 $184$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (46)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 46}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{6}$

解题步骤 2.3.3

化简 $\frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{6}$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{46}}{3}$

解题步骤 2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 7$ 。

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解题步骤 2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 7$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 84}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.3

将 $100$ 和 $84$ 相加。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{184}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.4

将 $184$ 重写为 $2^{2} \cdot 46$ 。

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解题步骤 2.4.1.4.1

从 $184$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (46)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 46}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{6}$

解题步骤 2.4.3

化简 $\frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{6}$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{46}}{3}$

解题步骤 2.4.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{5 + \sqrt{46}}{3}$

解题步骤 2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 3 \cdot - 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot - 7$ 。

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解题步骤 2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 12 \cdot - 7}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $- 7$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 84}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.3

将 $100$ 和 $84$ 相加。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{184}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.4

将 $184$ 重写为 $2^{2} \cdot 46$ 。

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解题步骤 2.5.1.4.1

从 $184$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{4 (46)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 46}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 2.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{6}$

解题步骤 2.5.3

化简 $\frac{10 \pm 2 \sqrt{46}}{6}$ 。

$x = \frac{5 \pm \sqrt{46}}{3}$

解题步骤 2.5.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{5 - \sqrt{46}}{3}$

解题步骤 2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{5 + \sqrt{46}}{3}, \frac{5 - \sqrt{46}}{3}$

解题步骤 3

求在 $x = \frac{5 + \sqrt{46}}{3}$ 处的原函数 $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 9$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\frac{5 + \sqrt{46}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{3} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $\frac{5 + \sqrt{46}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{{(5 + \sqrt{46})}^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{{(5 + \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.3

使用二项式定理。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{5^{3} + 3 \cdot (5^{2} \sqrt{46}) + 3 \cdot (5 {\sqrt{46}}^{2}) + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.4.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 3 \cdot (5^{2} \sqrt{46}) + 3 \cdot (5 {\sqrt{46}}^{2}) + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 3 \cdot (25 \sqrt{46}) + 3 \cdot (5 {\sqrt{46}}^{2}) + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4.3

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 3 \cdot (5 {\sqrt{46}}^{2}) + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 15 {\sqrt{46}}^{2} + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4.5

将 ${\sqrt{46}}^{2}$ 重写为 $46$ 。

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解题步骤 3.2.1.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{46}$ 重写成 $46^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 15 {(46^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.4.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46 + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4.5.5

计算指数。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46 + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4.6

将 $15$ 乘以 $46$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 690 + {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4.7

将 ${\sqrt{46}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{46^{3}}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 690 + \sqrt{46^{3}}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4.8

对 $46$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 690 + \sqrt{97336}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4.9

将 $97336$ 重写为 $46^{2} \cdot 46$ 。

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解题步骤 3.2.1.4.9.1

从 $97336$ 中分解出因数 $2116$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 690 + \sqrt{2116 (46)}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4.9.2

将 $2116$ 重写为 $46^{2}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 690 + \sqrt{46^{2} \cdot 46}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.4.10

从根式下提出各项。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 \sqrt{46} + 690 + 46 \sqrt{46}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.5

将 $125$ 和 $690$ 相加。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 75 \sqrt{46} + 46 \sqrt{46}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.6

将 $75 \sqrt{46}$ 和 $46 \sqrt{46}$ 相加。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 {(\frac{5 + \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.7

对 $\frac{5 + \sqrt{46}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{{(5 + \sqrt{46})}^{2}}{3^{2}} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{{(5 + \sqrt{46})}^{2}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.9

将 ${(5 + \sqrt{46})}^{2}$ 重写为 $(5 + \sqrt{46}) (5 + \sqrt{46})$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{(5 + \sqrt{46}) (5 + \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.10

使用 FOIL 方法展开 $(5 + \sqrt{46}) (5 + \sqrt{46})$ 。

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解题步骤 3.2.1.10.1

运用分配律。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{5 (5 + \sqrt{46}) + \sqrt{46} (5 + \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.10.2

运用分配律。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{46} + \sqrt{46} (5 + \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.10.3

运用分配律。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{5 \cdot 5 + 5 \sqrt{46} + \sqrt{46} \cdot 5 + \sqrt{46} \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.11.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.11.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 + 5 \sqrt{46} + \sqrt{46} \cdot 5 + \sqrt{46} \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.11.1.2

将 $5$ 移到 $\sqrt{46}$ 的左侧。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 + 5 \sqrt{46} + 5 \cdot \sqrt{46} + \sqrt{46} \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.11.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 + 5 \sqrt{46} + 5 \sqrt{46} + \sqrt{46 \cdot 46}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.11.1.4

将 $46$ 乘以 $46$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 + 5 \sqrt{46} + 5 \sqrt{46} + \sqrt{2116}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.11.1.5

将 $2116$ 重写为 $46^{2}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 + 5 \sqrt{46} + 5 \sqrt{46} + \sqrt{46^{2}}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.11.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 + 5 \sqrt{46} + 5 \sqrt{46} + 46}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.11.2

将 $25$ 和 $46$ 相加。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{71 + 5 \sqrt{46} + 5 \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.11.3

将 $5 \sqrt{46}$ 和 $5 \sqrt{46}$ 相加。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{71 + 10 \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.12

组合 $- 5$ 和 $\frac{71 + 10 \sqrt{46}}{9}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} + \frac{- 5 (71 + 10 \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.13

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 + \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.14

组合 $- 7$ 和 $\frac{5 + \sqrt{46}}{3}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46})}{9} + \frac{- 7 (5 + \sqrt{46})}{3} + 9$

解题步骤 3.2.1.15

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46})}{9} - \frac{7 (5 + \sqrt{46})}{3} + 9$

解题步骤 3.2.2

求公分母。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $\frac{5 (71 + 10 \sqrt{46})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - (\frac{5 (71 + 10 \sqrt{46})}{9} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{7 (5 + \sqrt{46})}{3} + 9$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\frac{5 (71 + 10 \sqrt{46})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 + \sqrt{46})}{3} + 9$

解题步骤 3.2.2.3

将 $\frac{7 (5 + \sqrt{46})}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{7 (5 + \sqrt{46})}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 9$

解题步骤 3.2.2.4

将 $\frac{7 (5 + \sqrt{46})}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + 9$

解题步骤 3.2.2.5

将 $9$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9}{1}$

解题步骤 3.2.2.6

将 $\frac{9}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9}{1} \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 3.2.2.7

将 $\frac{9}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.2.8

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.2.9

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{27} - \frac{7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.2.10

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{27} - \frac{7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 5 (71 + 10 \sqrt{46}) \cdot 3 - 7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 3.2.4.1

运用分配律。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} + (- 5 \cdot 71 - 5 (10 \sqrt{46})) \cdot 3 - 7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.4.2

将 $- 5$ 乘以 $71$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} + (- 355 - 5 (10 \sqrt{46})) \cdot 3 - 7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.4.3

将 $10$ 乘以 $- 5$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} + (- 355 - 50 \sqrt{46}) \cdot 3 - 7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.4.4

运用分配律。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 355 \cdot 3 - 50 \sqrt{46} \cdot 3 - 7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.4.5

将 $- 355$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 50 \sqrt{46} \cdot 3 - 7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.4.6

将 $3$ 乘以 $- 50$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 150 \sqrt{46} - 7 (5 + \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.4.7

运用分配律。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 150 \sqrt{46} + (- 7 \cdot 5 - 7 \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.4.8

将 $- 7$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 150 \sqrt{46} + (- 35 - 7 \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.4.9

运用分配律。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 150 \sqrt{46} - 35 \cdot 9 - 7 \sqrt{46} \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.4.10

将 $- 35$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 150 \sqrt{46} - 315 - 7 \sqrt{46} \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.4.11

将 $9$ 乘以 $- 7$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 150 \sqrt{46} - 315 - 63 \sqrt{46} + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 3.2.4.12

将 $9$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 + 121 \sqrt{46} - 1065 - 150 \sqrt{46} - 315 - 63 \sqrt{46} + 243}{27}$

解题步骤 3.2.5

化简项。

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解题步骤 3.2.5.1

从 $815$ 中减去 $1065$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 250 + 121 \sqrt{46} - 150 \sqrt{46} - 315 - 63 \sqrt{46} + 243}{27}$

解题步骤 3.2.5.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.2.5.2.1

从 $- 250$ 中减去 $315$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 565 + 121 \sqrt{46} - 150 \sqrt{46} - 63 \sqrt{46} + 243}{27}$

解题步骤 3.2.5.2.2

将 $- 565$ 和 $243$ 相加。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 322 + 121 \sqrt{46} - 150 \sqrt{46} - 63 \sqrt{46}}{27}$

解题步骤 3.2.5.3

从 $121 \sqrt{46}$ 中减去 $150 \sqrt{46}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 322 - 29 \sqrt{46} - 63 \sqrt{46}}{27}$

解题步骤 3.2.5.4

从 $- 29 \sqrt{46}$ 中减去 $63 \sqrt{46}$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 322 - 92 \sqrt{46}}{27}$

解题步骤 3.2.5.5

将 $- 322$ 重写为 $- 1 (322)$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 322 - 92 \sqrt{46}}{27}$

解题步骤 3.2.5.6

从 $- 92 \sqrt{46}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 322 - (92 \sqrt{46})}{27}$

解题步骤 3.2.5.7

从 $- 1 (322) - (92 \sqrt{46})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 1 (322 + 92 \sqrt{46})}{27}$

解题步骤 3.2.5.8

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{5 + \sqrt{46}}{3}) = - \frac{322 + 92 \sqrt{46}}{27}$

解题步骤 3.2.6

最终答案为 $- \frac{322 + 92 \sqrt{46}}{27}$ 。

$- \frac{322 + 92 \sqrt{46}}{27}$

解题步骤 4

求在 $x = \frac{5 - \sqrt{46}}{3}$ 处的原函数 $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 9$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $\frac{5 - \sqrt{46}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{3} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $\frac{5 - \sqrt{46}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{{(5 - \sqrt{46})}^{3}}{3^{3}} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{{(5 - \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.3

使用二项式定理。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{5^{3} + 3 \cdot (5^{2} (- \sqrt{46})) + 3 \cdot (5 {(- \sqrt{46})}^{2}) + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.4.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 3 \cdot (5^{2} (- \sqrt{46})) + 3 \cdot (5 {(- \sqrt{46})}^{2}) + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 3 \cdot (25 (- \sqrt{46})) + 3 \cdot (5 {(- \sqrt{46})}^{2}) + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.3

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 + 75 (- \sqrt{46}) + 3 \cdot (5 {(- \sqrt{46})}^{2}) + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.4

将 $- 1$ 乘以 $75$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 3 \cdot (5 {(- \sqrt{46})}^{2}) + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.5

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 {(- \sqrt{46})}^{2} + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.6

对 $- \sqrt{46}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{46}}^{2}) + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 (1 {\sqrt{46}}^{2}) + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.8

将 ${\sqrt{46}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 {\sqrt{46}}^{2} + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.9

将 ${\sqrt{46}}^{2}$ 重写为 $46$ 。

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解题步骤 4.2.1.4.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{46}$ 重写成 $46^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 {(46^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.4.9.4.1

约去公因数。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.9.4.2

重写表达式。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46 + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.9.5

计算指数。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 15 \cdot 46 + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.10

将 $15$ 乘以 $46$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 + {(- \sqrt{46})}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.11

对 $- \sqrt{46}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 - {\sqrt{46}}^{3}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.13

将 ${\sqrt{46}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{46^{3}}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 - \sqrt{46^{3}}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.14

对 $46$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 - \sqrt{97336}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.15

将 $97336$ 重写为 $46^{2} \cdot 46$ 。

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解题步骤 4.2.1.4.15.1

从 $97336$ 中分解出因数 $2116$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 - \sqrt{2116 (46)}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.15.2

将 $2116$ 重写为 $46^{2}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 - \sqrt{46^{2} \cdot 46}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.16

从根式下提出各项。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 - (46 \sqrt{46})}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.4.17

将 $46$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{125 - 75 \sqrt{46} + 690 - 46 \sqrt{46}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.5

将 $125$ 和 $690$ 相加。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 75 \sqrt{46} - 46 \sqrt{46}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.6

从 $- 75 \sqrt{46}$ 中减去 $46 \sqrt{46}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 {(\frac{5 - \sqrt{46}}{3})}^{2} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.7

对 $\frac{5 - \sqrt{46}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{{(5 - \sqrt{46})}^{2}}{3^{2}} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{{(5 - \sqrt{46})}^{2}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.9

将 ${(5 - \sqrt{46})}^{2}$ 重写为 $(5 - \sqrt{46}) (5 - \sqrt{46})$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{(5 - \sqrt{46}) (5 - \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.10

使用 FOIL 方法展开 $(5 - \sqrt{46}) (5 - \sqrt{46})$ 。

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解题步骤 4.2.1.10.1

运用分配律。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{5 (5 - \sqrt{46}) - \sqrt{46} (5 - \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.10.2

运用分配律。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{46}) - \sqrt{46} (5 - \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.10.3

运用分配律。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{5 \cdot 5 + 5 (- \sqrt{46}) - \sqrt{46} \cdot 5 - \sqrt{46} (- \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1.11.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.11.1.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 + 5 (- \sqrt{46}) - \sqrt{46} \cdot 5 - \sqrt{46} (- \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.1.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - \sqrt{46} \cdot 5 - \sqrt{46} (- \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.1.3

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} - \sqrt{46} (- \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.1.4

乘以 $- \sqrt{46} (- \sqrt{46})$ 。

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解题步骤 4.2.1.11.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + 1 \sqrt{46} \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.1.4.2

将 $\sqrt{46}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + \sqrt{46} \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.1.4.3

对 $\sqrt{46}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + \sqrt{46} \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.1.4.4

对 $\sqrt{46}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + \sqrt{46} \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + {\sqrt{46}}^{1 + 1}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + {\sqrt{46}}^{2}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.1.5

将 ${\sqrt{46}}^{2}$ 重写为 $46$ 。

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解题步骤 4.2.1.11.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{46}$ 重写成 $46^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + {(46^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + 46^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + 46^{\frac{2}{2}}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.11.1.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + 46^{\frac{2}{2}}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.1.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + 46}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.1.5.5

计算指数。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{25 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46} + 46}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.2

将 $25$ 和 $46$ 相加。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{71 - 5 \sqrt{46} - 5 \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.11.3

从 $- 5 \sqrt{46}$ 中减去 $5 \sqrt{46}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - 5 \frac{71 - 10 \sqrt{46}}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.12

组合 $- 5$ 和 $\frac{71 - 10 \sqrt{46}}{9}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} + \frac{- 5 (71 - 10 \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.13

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46})}{9} - 7 \frac{5 - \sqrt{46}}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.14

组合 $- 7$ 和 $\frac{5 - \sqrt{46}}{3}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46})}{9} + \frac{- 7 (5 - \sqrt{46})}{3} + 9$

解题步骤 4.2.1.15

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46})}{9} - \frac{7 (5 - \sqrt{46})}{3} + 9$

解题步骤 4.2.2

求公分母。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $\frac{5 (71 - 10 \sqrt{46})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - (\frac{5 (71 - 10 \sqrt{46})}{9} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{7 (5 - \sqrt{46})}{3} + 9$

解题步骤 4.2.2.2

将 $\frac{5 (71 - 10 \sqrt{46})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 - \sqrt{46})}{3} + 9$

解题步骤 4.2.2.3

将 $\frac{7 (5 - \sqrt{46})}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{7 (5 - \sqrt{46})}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 9$

解题步骤 4.2.2.4

将 $\frac{7 (5 - \sqrt{46})}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + 9$

解题步骤 4.2.2.5

将 $9$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9}{1}$

解题步骤 4.2.2.6

将 $\frac{9}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9}{1} \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 4.2.2.7

将 $\frac{9}{1}$ 乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.2.8

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.2.9

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{27} - \frac{7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.2.10

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46}}{27} - \frac{5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3}{27} - \frac{7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9}{27} + \frac{9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 5 (71 - 10 \sqrt{46}) \cdot 3 - 7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.4

化简每一项。

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解题步骤 4.2.4.1

运用分配律。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} + (- 5 \cdot 71 - 5 (- 10 \sqrt{46})) \cdot 3 - 7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $- 5$ 乘以 $71$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} + (- 355 - 5 (- 10 \sqrt{46})) \cdot 3 - 7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.4.3

将 $- 10$ 乘以 $- 5$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} + (- 355 + 50 \sqrt{46}) \cdot 3 - 7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.4.4

运用分配律。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 355 \cdot 3 + 50 \sqrt{46} \cdot 3 - 7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.4.5

将 $- 355$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 50 \sqrt{46} \cdot 3 - 7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.4.6

将 $3$ 乘以 $50$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} - 7 (5 - \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.4.7

运用分配律。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} + (- 7 \cdot 5 - 7 (- \sqrt{46})) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.4.8

将 $- 7$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} + (- 35 - 7 (- \sqrt{46})) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.4.9

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} + (- 35 + 7 \sqrt{46}) \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.4.10

运用分配律。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} - 35 \cdot 9 + 7 \sqrt{46} \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.4.11

将 $- 35$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} - 315 + 7 \sqrt{46} \cdot 9 + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.4.12

将 $9$ 乘以 $7$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} - 315 + 63 \sqrt{46} + 9 \cdot 27}{27}$

解题步骤 4.2.4.13

将 $9$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{815 - 121 \sqrt{46} - 1065 + 150 \sqrt{46} - 315 + 63 \sqrt{46} + 243}{27}$

解题步骤 4.2.5

化简项。

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解题步骤 4.2.5.1

从 $815$ 中减去 $1065$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 250 - 121 \sqrt{46} + 150 \sqrt{46} - 315 + 63 \sqrt{46} + 243}{27}$

解题步骤 4.2.5.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.5.2.1

从 $- 250$ 中减去 $315$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 565 - 121 \sqrt{46} + 150 \sqrt{46} + 63 \sqrt{46} + 243}{27}$

解题步骤 4.2.5.2.2

将 $- 565$ 和 $243$ 相加。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 322 - 121 \sqrt{46} + 150 \sqrt{46} + 63 \sqrt{46}}{27}$

解题步骤 4.2.5.3

将 $- 121 \sqrt{46}$ 和 $150 \sqrt{46}$ 相加。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 322 + 29 \sqrt{46} + 63 \sqrt{46}}{27}$

解题步骤 4.2.5.4

将 $29 \sqrt{46}$ 和 $63 \sqrt{46}$ 相加。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 322 + 92 \sqrt{46}}{27}$

解题步骤 4.2.5.5

将 $- 322$ 重写为 $- 1 (322)$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 322 + 92 \sqrt{46}}{27}$

解题步骤 4.2.5.6

从 $92 \sqrt{46}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 322 - (- 92 \sqrt{46})}{27}$

解题步骤 4.2.5.7

从 $- 1 (322) - (- 92 \sqrt{46})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = \frac{- 1 (322 - 92 \sqrt{46})}{27}$

解题步骤 4.2.5.8

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{5 - \sqrt{46}}{3}) = - \frac{322 - 92 \sqrt{46}}{27}$

解题步骤 4.2.6

最终答案为 $- \frac{322 - 92 \sqrt{46}}{27}$ 。

$- \frac{322 - 92 \sqrt{46}}{27}$

解题步骤 5

函数 $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 7 x + 9$ 上的水平切线是 $y = - \frac{322 + 92 \sqrt{46}}{27}, y = - \frac{322 - 92 \sqrt{46}}{27}$ 。

$y = - \frac{322 + 92 \sqrt{46}}{27}, y = - \frac{322 - 92 \sqrt{46}}{27}$

解题步骤 6

微积分学 示例

微积分学示例