微积分学示例

$f (x) = x^{4} e^{- 2 x}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = e^{- 2 x}$ 。

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}] + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - 2 x$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- 2 x$ 。

$x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.2.3

使用 $- 2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{4} (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{4} (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{4} (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$x^{4} (e^{- 2 x} \cdot - 2) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.3.2

将 $- 2$ 移到 $e^{- 2 x}$ 的左侧。

$x^{4} (- 2 \cdot e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

解题步骤 1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$x^{4} (- 2 e^{- 2 x}) + e^{- 2 x} (4 x^{3})$

解题步骤 1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.4.1

重新排序项。

$- 2 e^{- 2 x} x^{4} + 4 e^{- 2 x} x^{3}$

解题步骤 1.1.4.2

将 $- 2 e^{- 2 x} x^{4} + 4 e^{- 2 x} x^{3}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$

解题步骤 1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$ 。

$- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$

解题步骤 2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x} = 0$

解题步骤 2.2

从 $- 2 x^{4} e^{- 2 x} + 4 x^{3} e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $2 x^{3} e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 2.2.1

从 $- 2 x^{4} e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $2 x^{3} e^{- 2 x}$ 。

$2 x^{3} e^{- 2 x} (- x) + 4 x^{3} e^{- 2 x} = 0$

解题步骤 2.2.2

从 $4 x^{3} e^{- 2 x}$ 中分解出因数 $2 x^{3} e^{- 2 x}$ 。

$2 x^{3} e^{- 2 x} (- x) + 2 x^{3} e^{- 2 x} (2) = 0$

解题步骤 2.2.3

从 $2 x^{3} e^{- 2 x} (- x) + 2 x^{3} e^{- 2 x} (2)$ 中分解出因数 $2 x^{3} e^{- 2 x}$ 。

$2 x^{3} e^{- 2 x} (- x + 2) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

$e^{- 2 x} = 0$

$- x + 2 = 0$

解题步骤 2.4

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 2.4.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 2.4.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 2.5

将 $e^{- 2 x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $e^{- 2 x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- 2 x} = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $e^{- 2 x} = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (0)$

解题步骤 2.5.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 2.5.2.3

$e^{- 2 x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 2.6

将 $- x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $- x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$- x + 2 = 0$

解题步骤 2.6.2

求解 $x$ 的 $- x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.6.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- x = - 2$

解题步骤 2.6.2.2

将 $- x = - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.6.2.2.1

将 $- x = - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 2.6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.6.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 2.6.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 2.6.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.6.2.2.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.7

最终解为使 $2 x^{3} e^{- 2 x} (- x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2$

解题步骤 3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{4} e^{- 2 x}$ 。

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解题步骤 4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{4} e^{- 2 \cdot 0}$

解题步骤 4.1.2

化简。

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解题步骤 4.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 e^{- 2 \cdot 0}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$0 e^{0}$

解题步骤 4.1.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.4

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0$

解题步骤 4.2

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 4.2.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

${(2)}^{4} e^{- 2 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.2

化简。

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解题步骤 4.2.2.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$16 e^{- 2 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.2.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$16 e^{- 4}$

解题步骤 4.2.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$16 \frac{1}{e^{4}}$

解题步骤 4.2.2.4

组合 $16$ 和 $\frac{1}{e^{4}}$ 。

$\frac{16}{e^{4}}$

解题步骤 4.3

列出所有的点。

$(0, 0), (2, \frac{16}{e^{4}})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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