微积分学示例

$f (x) = x^{2} + \ln (x)$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{2} + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$2 x + \frac{1}{x}$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x + \frac{1}{x} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 2.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x, 1$

解题步骤 2.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 2.2

将 $2 x + \frac{1}{x} = 0$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 2.2.1

将 $2 x + \frac{1}{x} = 0$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$2 x \cdot x + \frac{1}{x} x = 0 x$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$2 (x \cdot x) + \frac{1}{x} x = 0 x$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

解题步骤 2.2.2.1.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.2.1

约去公因数。

$2 x^{2} + \frac{1}{x} x = 0 x$

解题步骤 2.2.2.1.2.2

重写表达式。

$2 x^{2} + 1 = 0 x$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

将 $0$ 乘以 $x$ 。

$2 x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 2.3

求解方程。

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解题步骤 2.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 x^{2} = - 1$

解题步骤 2.3.2

将 $2 x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.3.2.1

将 $2 x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.3.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

将 $- \frac{1}{2}$ 重写为 $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.4.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

解题步骤 2.3.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

解题步骤 2.3.4.3

一的任意次幂都为一。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3.4.4

将 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.3.4.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 2.3.4.6

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 2.3.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 2.3.4.7.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.3.4.7.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 2.3.4.7.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 2.3.4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.3.4.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.7.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.3.4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.4.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.4.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.4.7.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.3.4.7.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 2.3.4.7.6.5

计算指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.4.8

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 2.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3

无法在虚点求切线。在 $x =$ 上的该点在实坐标上不存在。

无法通过根求切线

解题步骤 4

There are no horizontal tangent lines on the function $f (x) = x^{2} + \ln (x)$ .

No horizontal tangent lines

解题步骤 5

微积分学 示例

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