微积分学示例

$f (x) = x^{3} + 1$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $x^{3} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 0$

解题步骤 1.4

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2}$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将 $3 x^{2} = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.1.1

将 $3 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.1.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.1.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 2.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 2.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 2.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3

求在 $x = 0$ 处的原函数 $f (x) = x^{3} + 1$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{3} + 1$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 1$

解题步骤 3.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f (0) = 1$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 4

函数 $f (x) = x^{3} + 1$ 的水平切线为 $y = 1$ 。

$y = 1$

解题步骤 5

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