微积分学示例

$f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 6$ 。

$6 x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$6 x^{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$6 x^{5} + 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$6 x^{5} + 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 x^{5} + 15 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$6 x^{5} + 15 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [9]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x$ 和 $0$ 相加。

$6 x^{5} + 15 x^{2} - 2 x$

解题步骤 2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx - 1.39902337, 0, 0.13320739$

解题步骤 3

求在 $x = - 1.39902337$ 处的原函数 $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $- 1.39902337$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 1.39902337) = {(- 1.39902337)}^{6} + 5 {(- 1.39902337)}^{3} - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $- 1.39902337$ 进行 $6$ 次方运算。

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 + 5 {(- 1.39902337)}^{3} - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

解题步骤 3.2.1.2

对 $- 1.39902337$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 + 5 \cdot - 2.73826144 - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

解题步骤 3.2.1.3

将 $5$ 乘以 $- 2.73826144$ 。

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - {(- 1.39902337)}^{2} + 9$

解题步骤 3.2.1.4

对 $- 1.39902337$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - 1 \cdot 1.9572664 + 9$

解题步骤 3.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1.9572664$ 。

$f (- 1.39902337) = 7.49807575 - 13.69130723 - 1.9572664 + 9$

解题步骤 3.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $7.49807575$ 中减去 $13.69130723$ 。

$f (- 1.39902337) = - 6.19323148 - 1.9572664 + 9$

解题步骤 3.2.2.2

从 $- 6.19323148$ 中减去 $1.9572664$ 。

$f (- 1.39902337) = - 8.15049788 + 9$

解题步骤 3.2.2.3

将 $- 8.15049788$ 和 $9$ 相加。

$f (- 1.39902337) = 0.84950211$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $0.84950211$ 。

$0.84950211$

解题步骤 4

求在 $x = 0$ 处的原函数 $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {(0)}^{6} + 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 9$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{3} - {(0)}^{2} + 9$

解题步骤 4.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0 - {(0)}^{2} + 9$

解题步骤 4.2.1.3

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - {(0)}^{2} + 9$

解题步骤 4.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 - 0 + 9$

解题步骤 4.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 9$

解题步骤 4.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 0 + 9$

解题步骤 4.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = 0 + 9$

解题步骤 4.2.2.3

将 $0$ 和 $9$ 相加。

$f (0) = 9$

解题步骤 4.2.3

最终答案为 $9$ 。

$9$

解题步骤 5

求在 $x = 0.13320739$ 处的原函数 $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 5.1

使用表达式中的 $0.13320739$ 替换变量 $x$ 。

$f (0.13320739) = {(0.13320739)}^{6} + 5 {(0.13320739)}^{3} - {(0.13320739)}^{2} + 9$

解题步骤 5.2

化简结果。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

对 $0.13320739$ 进行 $6$ 次方运算。

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 5 {(0.13320739)}^{3} - {(0.13320739)}^{2} + 9$

解题步骤 5.2.1.2

对 $0.13320739$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 5 \cdot 0.00236365 - {(0.13320739)}^{2} + 9$

解题步骤 5.2.1.3

将 $5$ 乘以 $0.00236365$ 。

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - {(0.13320739)}^{2} + 9$

解题步骤 5.2.1.4

对 $0.13320739$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - 1 \cdot 0.0177442 + 9$

解题步骤 5.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0.0177442$ 。

$f (0.13320739) = 0.00000558 + 0.01181829 - 0.0177442 + 9$

解题步骤 5.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $0.00000558$ 和 $0.01181829$ 相加。

$f (0.13320739) = 0.01182388 - 0.0177442 + 9$

解题步骤 5.2.2.2

从 $0.01182388$ 中减去 $0.0177442$ 。

$f (0.13320739) = - 0.00592032 + 9$

解题步骤 5.2.2.3

将 $- 0.00592032$ 和 $9$ 相加。

$f (0.13320739) = 8.99407967$

解题步骤 5.2.3

最终答案为 $8.99407967$ 。

$8.99407967$

解题步骤 6

函数 $f (x) = x^{6} + 5 x^{3} - x^{2} + 9$ 上的水平切线是 $y = 0.84950211, y = 9, y = 8.99407967$ 。

$y = 0.84950211, y = 9, y = 8.99407967$

解题步骤 7

微积分学 示例

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