微积分学示例

$f (x) = 2 x^{2} - 9 x + 10$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $2 x^{2} - 9 x + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 9 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$4 x - 9 + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 x - 9 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $4 x - 9$ 和 $0$ 相加。

$4 x - 9$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x - 9 = 0$ 。

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解题步骤 2.1

在等式两边都加上 $9$ 。

$4 x = 9$

解题步骤 2.2

将 $4 x = 9$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $4 x = 9$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{9}{4}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{9}{4}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{9}{4}$

解题步骤 3

求在 $x = \frac{9}{4}$ 处的原函数 $f (x) = 2 x^{2} - 9 x + 10$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $\frac{9}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{9}{4}) = 2 {(\frac{9}{4})}^{2} - 9 (\frac{9}{4}) + 10$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $\frac{9}{4}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{9}{4}) = 2 (\frac{9^{2}}{4^{2}}) - 9 (\frac{9}{4}) + 10$

解题步骤 3.2.1.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{9}{4}) = 2 (\frac{81}{4^{2}}) - 9 (\frac{9}{4}) + 10$

解题步骤 3.2.1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{9}{4}) = 2 (\frac{81}{16}) - 9 (\frac{9}{4}) + 10$

解题步骤 3.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{9}{4}) = 2 (\frac{81}{2 (8)}) - 9 (\frac{9}{4}) + 10$

解题步骤 3.2.1.4.2

约去公因数。

$f (\frac{9}{4}) = 2 (\frac{81}{2 \cdot 8}) - 9 (\frac{9}{4}) + 10$

解题步骤 3.2.1.4.3

重写表达式。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - 9 (\frac{9}{4}) + 10$

解题步骤 3.2.1.5

乘以 $- 9 (\frac{9}{4})$ 。

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解题步骤 3.2.1.5.1

组合 $- 9$ 和 $\frac{9}{4}$ 。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} + \frac{- 9 \cdot 9}{4} + 10$

解题步骤 3.2.1.5.2

将 $- 9$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} + \frac{- 81}{4} + 10$

解题步骤 3.2.1.6

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - \frac{81}{4} + 10$

解题步骤 3.2.2

求公分母。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $\frac{81}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - (\frac{81}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 10$

解题步骤 3.2.2.2

将 $\frac{81}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 10$

解题步骤 3.2.2.3

将 $10$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{10}{1}$

解题步骤 3.2.2.4

将 $\frac{10}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{10}{1} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 3.2.2.5

将 $\frac{10}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - \frac{81 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{10 \cdot 8}{8}$

解题步骤 3.2.2.6

重新排序 $4 \cdot 2$ 的因式。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{10 \cdot 8}{8}$

解题步骤 3.2.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81}{8} - \frac{81 \cdot 2}{8} + \frac{10 \cdot 8}{8}$

解题步骤 3.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81 - 81 \cdot 2 + 10 \cdot 8}{8}$

解题步骤 3.2.4

化简每一项。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $- 81$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81 - 162 + 10 \cdot 8}{8}$

解题步骤 3.2.4.2

将 $10$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{81 - 162 + 80}{8}$

解题步骤 3.2.5

化简表达式。

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解题步骤 3.2.5.1

从 $81$ 中减去 $162$ 。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{- 81 + 80}{8}$

解题步骤 3.2.5.2

将 $- 81$ 和 $80$ 相加。

$f (\frac{9}{4}) = \frac{- 1}{8}$

解题步骤 3.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{9}{4}) = - \frac{1}{8}$

解题步骤 3.2.6

最终答案为 $- \frac{1}{8}$ 。

$- \frac{1}{8}$

解题步骤 4

函数 $f (x) = 2 x^{2} - 9 x + 10$ 的水平切线为 $y = - \frac{1}{8}$ 。

$y = - \frac{1}{8}$

解题步骤 5

微积分学 示例

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