微积分学示例

$f (x) = x \sqrt{x}$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [x \cdot x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [x^{1} x^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{d}{d x} [x^{1 + \frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

解题步骤 1.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

解题步骤 1.7.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.8

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.1

将分子设为等于零。

$3 x^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.2.1

将 $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $3 x^{\frac{1}{2}} = 0$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1.2.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{3} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.2.1.2.2

用 $x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{0}{3}$

解题步骤 2.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $3$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 2.2.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 2.2.3

化简指数。

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解题步骤 2.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.2.3.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 2.2.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 2.2.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 2.2.3.1.1.2

化简。

$x = 0^{2}$

解题步骤 2.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 3

求在 $x = 0$ 处的原函数 $f (x) = x \sqrt{x}$ 。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

去掉圆括号。

$f (0) = (0) \sqrt{0}$

解题步骤 3.2.2

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$f (0) = 0 \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 3.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 0 \cdot 0$

解题步骤 3.2.4

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 3.2.5

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

函数 $f (x) = x \sqrt{x}$ 的水平切线为 $y = 0$ 。

$y = 0$

解题步骤 5

微积分学 示例

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