微积分学示例

$f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$

解题步骤 1

求导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $4 x - 4 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

解题步骤 1.2.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$4 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 1.3.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$4 - 4 \cos (x)$

解题步骤 2

使导数等于 $0$ ，然后求解方程 $4 - 4 \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- 4 \cos (x) = - 4$

解题步骤 2.2

将 $- 4 \cos (x) = - 4$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $- 4 \cos (x) = - 4$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

解题步骤 2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 4}{- 4}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 4$ 。

$\cos (x) = 1$

解题步骤 2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 2.4

化简右边。

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解题步骤 2.4.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 2.6

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.9

合并答案。

$x = 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

求在 $x = 2 π$ 处的原函数 $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ 。

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解题步骤 3.1

$f (2 π) = 4 (2 π) - 4 \sin (2 π)$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (2 π)$

解题步骤 3.2.1.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (2 π) = 8 π - 4 \sin (0)$

解题步骤 3.2.1.3

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (2 π) = 8 π - 4 \cdot 0$

解题步骤 3.2.1.4

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$f (2 π) = 8 π + 0$

解题步骤 3.2.2

将 $8 π$ 和 $0$ 相加。

$f (2 π) = 8 π$

解题步骤 3.2.3

最终答案为 $8 π$ 。

$8 π$

解题步骤 4

函数 $f (x) = 4 x - 4 \sin (x)$ 的水平切线为 $y = x = 2 π n, y = 8 π$ 。

$y = x = 2 π n, y = 8 π$

解题步骤 5

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